Home/ Intrebari/Q 81751
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

diana.boncoi
Pe: 2013-05-21T14:18:18+03:00 In: In:

probleme

1.Sa se arate ca triunghiul ABC este echilateral daca si numai daca S=2/3*pRsinBsinC.
2.Sa se arate ca patrulaterul ABCD este patrat daca si numai daca aria sa S este data de relatia 16S=(AB+BC+CA+AD)^2.
3.Fie ABCD un paralelogram ale carui diagonale fac un unghi de masura alfa=45 grade . Sa se arate ca aria paralelogramului este S=modul de (AB^2-BC^2)/2 .

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    1). Nu mi se pare adevarata; mai vedem.
    2). S=(1/2)AB*BC*sinB+(1/2)CD*DA*sinD si S=(1/2)BC*CD*sinC+(1/2)DA*AB*sinA; adunam si impartim cu 2:
    S=(1/4)(AB*BC*sinB+CD*DA*sinD+BC*CD*sinC+DA*AB*sinA). Pentru ca toate sinusurike sunt subunitare:
    S<=(1/4)(AB*BC+CD*DA+BC*CD+DA*AB), sau S<=(1/4)(AB+CD)(BC+DA) cu observatia ca egalitatea se obtine numai daca
    toate unghiurile sunt drepte; asadar 4S=(AB+CD)(BC+DA) daca si numai daca ABCD este dreptunghi (1).
    Intr-un patrulater oarecare avem si 4S<=(AB+CD)(BC+DA)<=(1/4)(AB+CD+BC+DA)^2 (inegalitatea mediilor xy<=(1/4)(x+y)^2)
    Ipoteza zice insa ca primul si al treilea termen din aceste inegalitati sunt egali, deci 4S=(AB+CD)(BC+DA)=(1/4)(AB+CD+BC+DA)^2.
    Din prima egalitate deducem ca ABCD este dreptunghi, iar din a doua (a mediilor) ca AB+CD=BC+DA. Aceasta egalitate are loc
    daca si numai daca in patrulater se poate inscrie un cerc –cerc tangent la toate laturile–(teorema lui Pithot).
    Ori, un dreptunghi circumscriptibil este, de fapt, un patrat.
    3).

        \[ S = \frac{{AC \cdot BD \cdot \sin 45^0 }}{2} = \frac{{AC \cdot BD\sqrt 2 }}{4} = \frac{{AC \cdot BD \cdot \cos 45^0 }}{2} =\[ \frac{{A\vec C \cdot B\vec D}}{2} \] \]

    (produsul scalar)

        \[ S = \frac{{\left| {A\vec C \cdot B\vec D} \right|}}{2} = \frac{{|\left( {B\vec C - B\vec A} \right)\left( {B\vec C + B\vec A} \right)|}}{2} = \frac{{\left| {B\vec C^2 - B\vec A^2 } \right|}}{2} = \frac{{\left| {BC^2 - BA^2 } \right|}}{2} \]

    .
    Erata: si primul produs scalar trebuie luat in modul, caci altfel el el ar putea fi negativ.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde