Home/ Intrebari/Q 81738
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

diana.boncoi
Pe: 2013-05-20T17:00:56+03:00 In: In:

Trigonometrie

Sa se determine unghiurile triunghiului ABC stiind ca 8cosAcosBcosC=1.
Multumesc anticipat.

Similare

15 raspunsuri

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Vezi mai jos.

    Green eyes.

    Attached files

  2. kennoer12

    Green eyes wrote: Salut,

    Am scris o soluţie pentru tine, vezi cele 2 poze de mai jos.

    Sper să îţi fi fost de folos. Mult succes !

    Green eyes.


    care sunt cele doua poze ? 🙂) am si eu nev de acelasi exercitiu si nu vad unde ai postat pozele

  4. adrianS

    Buna ziua
    Evident \ 8\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}2\cdot\dfrac{1}{2}=1\ de\ aici\ cos A=cosB=cosC=\dfrac{1}{2}\ si \angle A=\angle B=\angle C=\dfrac{\pi}{3}
    Triunghiul ABC este echilateral.

  5. PhantomR
    expert (VI)

    adrianS wrote: Buna ziua
    Evident \ 8\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}2\cdot\dfrac{1}{2}=1\ de\ aici\ cos A=cosB=cosC=\dfrac{1}{2}\ si \angle A=\angle B=\angle C=\dfrac{\pi}{3}
    Triunghiul ABC este echilateral.

    Nu se poate spune direct acest lucru doar din acea relatie. Avem si 8\cdot \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt 2}\cdot \frac{1}{\sqrt 2}=1, dar de aici nu rezulta \cos A = \frac{1}{4},\cos B = \frac{1}{\sqrt 2}, \cos C = \frac{1}{\sqrt 2}.

  6. adrianS

    Buna seara
    Eu vad in completare rezolvarea problemei in felul urmator:
    Definim \ o\ functie\ f(cosA,cosB,cosC)=cosA\cdot cosB\cdot cosC\ \\cu\angle A,B,C\in \ \triangle ABC. Aceasta \ functie \ pe \ intervalul\ [0,\pi] este\ o\ functie\ strict\ monotona\\ \ si\ la \ fel \ si \ functiile\ cos.
    Din acest motiv solutia pentru
    f(cosA,cosB,cosC)=\dfrac{1}{8}\ este\ unica\\si\ anume\ cosA=cosB=cosC=\dfrac{1}{2}.
    Demonstrarea se mai poate face prin reducere la absurd si anume:presupun ca ar mai exista si o alta solutie
    pentru cosA,cosB,cosC in afara celei aratate mai sus.
    Dar aceasta contrazice ipoteza unicitatii solutiei in cazul unor functii strict monotone.
    Deci in concluzie singura solutie pentru problema in cauza este cosA=cosB=cosC=\dfrac{1}{2},\angle A=\angle B=\angle C=60^0 iar triunghiul ABC
    este echilateral.
    Exemplul
    cosA=\dfrac{1}{4},cosB=cos C=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ trebuie\ exclus\ si\ din\ alt\ motiv\ si\ anume \angle A=\angle B=\dfrac{\pi}{4}\\si \ ar \ ramane \angle C=\dfrac{\pi}{2}\ cu\ cos C=cos \dfrac{\pi}{2}=zero\ \neq\dfrac{1}{4}

    Attached files

  8. PhantomR
    expert (VI)

    Buna ziua,

    Functia pe care ati definit-o este o functie de trei variabile, deci am putea zice ca e definita pe [0,\pi]\times [0,\pi] \times [0,\pi]. Se poate defini monotonia si pentru astfel de functii, insa trebuie mai intai o relatie de ordine pe multimea [0,\pi]^3, insa este alta treaba decat in cazul functiilor definite pe \mathbb{R}.

    Contraexemplul pe care l-am dat arata ca exista alte solutii pentru \frac{1}{8}=\cos A\cos B \cos C daca folosim, de exemplu, doar restrictia A,B,C\in [0;\pi], iar in postarea dumneavoastra pare ca nu ati folosit faptul ca ABC este triunghi decat pentru a determina unghiurile la final, aparent tragand concluzia ca \cos A = \cos B = \cos C = \frac{1}{2} doar din relatia mentionata la inceputul postarii: 8\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=1.

  9. adrianS

    Buna ziua
    Asa este.
    Faptul ca cos este o functie strict monotona pe intervalul
    (0,\pi) poate conduce la a arata ca si functia cosAcosBcosC este strict monotona pe acest interval situatie
    in care solutia gasita este unica.

  10. PhantomR
    expert (VI)

    Unica ? Nu este unica. Noi avem in esenta relatia xyz=\frac{1}{8} pentru x,y,z\in [-1,1], iar aceasta are o infinitate de solutii: (x,y,z)\in [-1,1]^3. De exemplu, p=k,\frac{1}{8}<k<1 si x=y=\frac{1}{\sqrt{8k}}.

  12. adrianS

    Cred ca a fost neglijata conditia ca A,B,C reprezinta unghiurile unui triunghi si deci
    \angle A+\angle B+\angle C=\pi
    In acest caz avem cacosA\cdot cos B\cdot cos(A+B)=-8
    Deci relatia este supusa la numai doua grade de libertate.
    Problema este de a demonstra ca aceasta functie este strict monotona.
    Nu pot crede ca problema are o infinitate de solutii.

  13. PhantomR
    expert (VI)

    Va rog sa ma iertati daca am fost cumva prea dur in ce am scris:(. Problema in sine are o singura solutie 😀, ceea ce am vrut eu sa subliniez este ca nu se poate deduce din egalitatea 8=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ca neaparat \cos A = \cos B = \cos C doar pentru ca A,B,C sunt din [0;\pi] (pentru ca asa pare in postul pe care l-ati scris initial 😀). Daca se adauga si conditia A+B+C=\pi (ABC triunghi cu aceasta egalitate si cu intervalul impus asupra A,B,C (e de fapt destul ca A,B,C\geq 0, marginea superioara rezultand din egalitatea anterioara), atunci problema are intr-adevar o singura solutie.

  14. adrianS

    Am inteles asa este!

  16. gunty
    maestru (V)

    O metoda:

        \[ \begin{array}{l} Avem\;triunghiul\;ABC\;astfel\;incat\;\cos A\cos B\cos C = \frac{1}{8}. \\ Acest\;triunghi\;este\;ascutitunghic\;deoarece\;in\;caz\;contrar\;doua\;dintre\;valorile\;\cos A,\cos B,\cos C\;ar\;fi\;pozitive,\;iar\;una\;mai\;mica\;sau\;egala\;cu\;0,\;adica\;\cos A\cos B\cos C \le 0,\;contradictie! \\ Asadar\;A,B,C \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)\;astfel\;incat\;A + B + C = \pi .\quad \left( {deci\;\cos A,\cos B,\cos C > 0} \right) \\ Fie\;functia\;strict\;concava\;f]{{f\left( A \right)f\left( B \right)f\left( C \right)}}. \\ Avand\;in\;vedere\;ca\;A + B + C = \pi ,\;deducem\;ca\;f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) \ge \sqrt[3]{{f\left( A \right)f\left( B \right)f\left( C \right)}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C}} \Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C \le \frac{1}{8}\quad ...\left( * \right) \\ In\;\left( * \right)\;egalitatea\;are\;loc\;daca\;si\;numai\;daca\;f\left( A \right) = f\left( B \right) = f\left( C \right) \Leftrightarrow \cos A = \cos B = \cos C \Leftrightarrow \limits^{A,B,C \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)} A = B = C. \\ \end{array} \]

        \[ In\;concluzie,\;A = B = C = \frac{\pi }{3}. \]

  17. Integrator
    maestru (V)

    diana.boncoi wrote: Sa se determine unghiurile triunghiului ABC stiind ca 8cosAcosBcosC=1.
    Multumesc anticipat.


    O idee:
    Din teorema cosinusului rezultă valorile cosA , cosB şi cosC şi făcând produsul acestor valori şi înlocuind în condiţia impusă de problemă obţinem (b^2+c^2-a^2)(b^2+a^2-c^2)(c^2+a^2-b^2)=a^2b^2c^2>0 doar dacă a=b=c deoarece triunghiul trebuie să fie ascuţitunghic.

  18. BodanFlorin

    Triunghiul nu poate fi si ascutit si echilateral in acelasi timp?

  20. gunty
    maestru (V)

    Orice triunghi echilateral este evident ascutitunghic, deoarece masura fiecarui unghi este de 60 grade.
    Deci raspunsul la intrebarea ta este: se poate…ba chiar mai mult, acest lucru se-ntampla mereu.

Raspunde

Raspunde