o ecuatie

Nu există soluţii în nicio mulţime de numere fie reale fie numere complexe cu partea reală şi cea imaginară diferite de zero şi nici în mulţimea numerelor imaginare.Presupunem că $x=a+bi$ unde $i^2=-1$ atunci ar rezulta că $\sqrt{x}=\sqrt{a+bi}=-1$ ceea ce ar însemna că $a+bi=1$ adică $a=1$ şi $b=0$ .Se ştie că $\sqrt{1}=1\neq -1$ ceea ce înseamnă că ecuaţia $\sqrt{x}=-1$ nu are soluţii în niciun fel de mulţime de numere.

PhantomR · Answer 6 · 2013-04-12T09:06:19+03:00

PhantomR expert (VI)

2013-04-12T09:06:19+03:00A raspuns pe 12 aprilie 2013 la 9:06 AM

Integrator wrote:

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 7 · 2013-04-12T19:02:11+03:00

PhantomR wrote: [quote=Integrator]Se ştie că $\sqrt{1}=1\neq -1$

Nu si în multimea numeror complexe. Aici radicalul (dacă se poate defini) poate lua mai multe valori. Mai exact, radicalul din $1$ este oarecum multimea solutiilor ecuatiei $x^2=1$ , care îl include pe $-1$ .

După părerea mea este destul de ciuda să folosim radicali în multimea numerelor complexe.
Făra supărare!
A nu se confunda rezolvarea ecuaţiei $x^2=1$ cu rezolvarea ecuaţiei $\sqrt{x}=-1$ .Cum se calculează $\sqrt{a+bi}=-1$ unde $a \neq 0$ , $b \neq 0$ şi $i^2=-1$ , fără a folosi forma trigonometrică pentru $a+bi$ ?Dacă $i^2=-1$ atunci cu cât este egal $i$ ?
–––––––––-
Rog a se rezolva următoarele cinci ecuaţii:
1.-Să se rezolve ecuaţia $\sqrt{x}=1$ .
2.-Să se rezolve ecuaţia $\sqrt{-x}=1$ .
3.-Să se rezolve ecuaţia $\sqrt{-x}=-1$ .
4.-Să se rezolve ecuaţia $x^2=1$ .
5.-Să se rezolve ecuaţia $x^2=-1$ .
––––––––––––––-
Este adevărat sau fals că $\sqrt{1}=-1$ ?Eu zic că este fals căci dacă ar fi adevărat ar rezulta că $\sqrt{1}+1=0$ ceea ce este absurd şi deci în concluzie rezultă că $\sqrt{1}=1$ şi evident că $-\sqrt{1}=-1$ .
Rog a se răspunde la toate întrebările şi rog să se rezolve şi ecuaţiile propuse de mine pentru a ne lămuri pe deplin!Mulţumesc mult!

PhantomR · Answer 8 · 2013-04-12T20:28:41+03:00

PhantomR expert (VI)

2013-04-12T20:28:41+03:00A raspuns pe 12 aprilie 2013 la 8:28 PM

- 0
Raspunde

ghioknt · Answer 9 · 2013-04-12T21:00:48+03:00

ghioknt profesor

2013-04-12T21:00:48+03:00A raspuns pe 12 aprilie 2013 la 9:00 PM

$\displaylines{ \cr In\,\,R\,\,definitia\,\,radicalului\,\,de\,\,ordin\,\,par\,\,este\,\,urmatoarea]{a} = b\,\,\, \Leftarrow def \Rightarrow \,\,b \ge 0\,\,si\,\,b^{2k} = a \cr \,\,\,In\,\,cuvinte :\,\,radicalul\,\,lui\,\,a\,\,este\,\,ACEL\,\,NUMAR\,\,POZITIV\,\,care\,\,ridicat\,\,la......;\,\,iar\,\,din\,\,.\,b^{2k} = a\,\,deducem \cr ca\,\,a\,\,nu\,\,poate\,\,fi\,\,negativ \cr In\,\,C\,\,un\,\,numar\,\,nu\,\,are\,\,UN\,\,radical,\,\,ci\,\,n\,\,radacini\,\,de\,\,ordinul\,\,n.\,\,Cuvantul\,\,radical\,\,este\,tolerat \cr aici\,\,(si\,\,generatorde\,\,confuzii)\,\,cam\,\,cum\,\,este\,\,tolerat\,\,cuvantul\,\,locatie\,\,pentru\,\,a\,\,desemna\,\, \cr locul\,\,unde\,\,are\,\,loc\,\,vreo\,\,cumetrie. \cr Dupa\,\,\min e\,\,egalitatea\,\,\sqrt x = - 1\,\,este\,\,lipsita\,\,de\,\,sens. \cr}$

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 10 · 2013-04-13T06:09:02+03:00

ghioknt wrote: $Dupa\,\,\min e\,\,egalitatea\,\,\sqrt x = - 1\,\,este\,\,lipsita\,\,de\,\,sens. \cr\]$

Corect,cu specificarea că $\sqrt{x}=-1$ este o ecuaţie care nu are niciun fel de soluţie în niciun fel de mulţime de numere.
–––––––––-
Rog a se rezolva următoarele cinci ecuaţii:
1.-Să se rezolve ecuaţia $\sqrt{x}=1$ .
2.-Să se rezolve ecuaţia $\sqrt{-x}=1$ .
3.-Să se rezolve ecuaţia $\sqrt{-x}=-1$ .
4.-Să se rezolve ecuaţia $x^2=1$ .
5.-Să se rezolve ecuaţia $x^2=-1$ .
Mulţumesc!

Integrator · Answer 11 · 2013-04-13T06:27:52+03:00

PhantomR wrote: Nu e problemă. Încerc să vă conving că a spune să rezolvăm acele ecuatii nu are sens pentru numere reale strict negative sau numere complexe nereale.

Să facem o mică analiză. Dacă sub radical avem un număr real pozitiv, am putea folosi definitia cunoscută a radicalului. Ce se întâmplă însă dacă avem un număr strict negativ? Să luăm spre exemplu numărul $i$ care este luat de obicei ca fiind numărul egal cu $\sqrt{-1}$ sau care satisface $i^2=-1$ . Să observăm însă că ecuatia $x^2=-1$ are de fapt două solutii. Deci pe care dintre aceasta o alegem ca fiind numărul $i$ ? Aici apare dilema si având în vedere cele două notatii aparent echivalente, am putea trage concluzia că $\sqrt{-1}= \{ -i,+i\}$ , deci radical din $-1$ este de fapt o multime. La fel se poate proceda cu alte numere întregi strict negative. Nu putem face o selectie după semn a celor două solutii, căci în numere complexe nereale nu putem aduce vorba de semn.

La fel se întâmplă si dacă sub radical avem un număr complex nereal. Niciuna din rădăcinile unui astfel de număr nu este reală. Într-adevăr, dacă o rădăcină ar fi reală, ridicând-o la pătrat s-ar obtine tot un număr real, contradictie. Atunci dacă dorim ca radicalul să ia o singură valoare anume, pe ce ne bazăm pentru a alege această valoare? Conform Wikipedia, se pare că există anumite criterii de selectie pentru rădăcina principală. Un exemplu ar fi pentru un număr complex de forma $r(\cos a + i \sin a),r\geq 0, a\in [0,2\pi)$ să îi alegem ca radical numărul complex $\sqrt{r}\left(\cos \frac{a}{2}+i \sin \frac{a}{2}\right)$ . Deoarece $\frac{a}{2}\in [0;\pi)$ avem $\sin \frac{a}{2}\geq 0$ , deci am ales acea solutie a ecuatiei $x^2=r(\cos a + i \sin a)$ care are partea imaginară pozitivă.

Ceea ce am vrut să spun este că dacă cerem a rezolva o ecuatie de forma $\sqrt{x}=a$ în numere complexe, este necesar să specificăm un criteriu de clasificare al rădăcinilor complexe nereale ale unui număr complex care nu este real pozitiv. Ori în cazul problemei initiale sau al ecuatiilor propuse de dumneavoastră, un astfel de criteriu nu este precizat. Ca urmare, nu putem rezolva ecuatiile.

NOTĂ (care ar trebui să clarifice de ce $\sqrt{1}$ poate fi $-1,1$ în contextul prezentat). Atunci când ati scris o expresie de forma $\sqrt{x}=-a,a>0$ , ati dat un nou înteles radicalului, pentru că i-ati dat o valoare strict negativă, iar dumneavoastră l-ati interpretat apoi $(\sqrt{1}=1)$ si neputând ca $\sqrt{1}=-1$ ) ca fiind pozitiv. Ar trebui probabil să definiti mai întâi radicalii care pot lua valori strict negative pentru ca să îi puteti folosi.

Cu multă plăcere! As fi bucuros să stiu că am reusit să vă lămuresc. Vă multumesc si eu căci m-ati condus spre a descoperi noi lucruri despre radicalii numerelor complexe.

Fără supărare,dar $i=\sqrt{-1}$ şi deci $-i=-\sqrt{-1}$ pentru că numărul $i=\sqrt{-1}$ este o convenţie de notaţie a numărului imaginar $\sqrt{-1}$ , iar dacă $i^2=-1$ asta nu înseamnă că $i=\pm \sqrt{-1}$ .A nu se confunda ecuaţia $x^2=-1$ cu egalitatea $i^2=-1$ ca urmare a notaţiei convenţionale $i=\sqrt{-1}$ .
Rog mult a da raspunsul şi la cele cinci ecuţii propuse de mine.
Repet:
„Cum se calculează $\sqrt{a+bi}=-1$ unde $a \neq 0$ , $b \neq 0$ şi $i^2=-1$ , fără a folosi forma trigonometrică pentru $a+bi$ ?”
Nu am fost lămurit de cele afirmate de Dvs. şi aştept cu interes replica!
Mulţumesc mult!

ghioknt · Answer 12 · 2013-04-14T09:49:02+03:00

Dupa mine enunturile se impart in:
a) enunturi cu sens, adica propozitii (adevarate sau false), ,,propozitii” cu variabile (predicate cu multime de adevar nevida sau vida)
b) enunturi fara sens, despre care nu am nimic de spus decat ca sunt lipsite de sens.
Ele, ultimele, induc in eroare pentru ca au subiect, predicat, deci d. p. d. v. gramatical sunt propozitii. ca sa fiu mai explicit sa dau un exemplu.
Fie (a;b) o pereche de elmente dintr-o multime nevida M. care enunt este adevarat:

$a \in (a;b){\rm sau }a \notin (a;b)\,\,?$

Aparent, una trebuie sa fie propozitie adevarata, iar cealalta, negatia ei, falsa. Eu consider ca cele doua enunturi nu sunt propozitii, ci enunturi fara sens, deci lor nu li se poate atribui vre-o valoare de adevar. Asta, pentru ca perechea (a;b) nu este o multime, ci o functie definita pe multimea {1;2} cu valori in M, corespondeta facandu-se conform locurilor ocupate in pereche.
Acum, cele spuse de mine nu trbuie luate prea in serios, ele nu reprezinta ,,matematica oficiala”, ci ,,matematica apud ghioknt”.

ghioknt · Answer 13 · 2013-04-14T13:15:55+03:00

Sa privim lucrurile din interiorul lui C, asa cum bine face colegul PhantomR.
1) Orice numar complex nenul a are n radacini de ordinul n, adica ecuatia x^n=a are in C exact n solutii distincte.
2) Daca , inparticular, a este numar real si n natural impar>1, atunci una singura dintre ele este numar real si aceasta se numeste radicalul de ordin n al lui a si se noteaza

$\sqrt[n]{a}$

3)Daca, in particular, a este numar real pozitiv si n natural par>1, atunci exista 2 radacini de ordinul n reale, opuse, iar cea pozitiva se numeste radicalul de ordin n al lui a si se noteaza

$\sqrt[n]{a}$

In toate celelalte cazuri nu avem un criteriu de alegere; care ar fi acel criteriu,valabil pentru toate numerele complexe si care aplicat lui -8 sa furnizeze fix pe -2, in detrimentul lui

$\, 1 \pm i\sqrt 3$

? Sau, alt argument: vi se pare frumoasa si utila regula

$\,\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {ab}$

? Daca

$\sqrt { - 2} \,\,{\rm ar avea semnificatie}{\rm , atunci ar trebui sa pot scrie }\sqrt { - 2} \cdot \sqrt { - 5} = \sqrt {10}$

.
Dar daca alegerea ar da, sa zicem,

$\sqrt { - 2} = i\sqrt 2 {\rm }{\rm , atunci }\sqrt {{\rm - 2}} \cdot \sqrt { - 5} = i\sqrt 2 \cdot i\sqrt 5 = i^2 \sqrt {10} = - \sqrt {10}$

! Ce buimaceala ar fi!
De aceea spun ca un enunt de forma

$\sqrt[n]{a} = b$

,care nu se incadreaza in una din cele doua definitii ale radicalului, este lipsit de sens.
Si totusi, cu totii folosim uneori, nu neaparat din comoditate,notatia cu radicali. Daca rezolvam o ecuatie de gr. 2 cu coeficienti complecsi, daca am fi mai ortodocsi decat Prea Fericitul am scrie ca solutiile sunt

$\frac{{ - b + orice\,rad.patrata\,a\,lui\,\Delta }}{{2a}}{\rm ! Evident nu scriem asa ci }\frac{{{\rm - b} \pm \sqrt \Delta }}{{{\rm 2a}}}$

pentru ca nu are importanta cu care radacina inlocuim radicalul datorita semnelor+ sa – din fata.
Eu cred ca cel care a propus ecuatia de la care a plecat discutia a atribuit radicalului o semnificatie obtinuta prin ,,gonflare” (nu gasesc alt cuvant) si anume de radacina patrata oarecare alui x. Ecuatia data este o ghicitoare: acui radacina patrata este -1? Evidentraspunsul nu poate fi decat x=(-1)^2=1.
NOTA. Evident, este tot ,,matematica apud ghioknt”. A nu se lua prea in serios, ci a se gasi argumente contra!

Integrator · Answer 14 · 2013-04-14T16:34:53+03:00

ghioknt wrote: Sa privim lucrurile din interiorul lui C, asa cum bine face colegul PhantomR.
1) Orice numar complex nenul a are n radacini de ordinul n, adica ecuatia x^n=a are in C exact n solutii distincte.
2) Daca , inparticular, a este numar real si n natural impar>1, atunci una singura dintre ele este numar real si aceasta se numeste radicalul de ordin n al lui a si se noteaza

$\sqrt[n]{a}$

3)Daca, in particular, a este numar real pozitiv si n natural par>1, atunci exista 2 radacini de ordinul n reale, opuse, iar cea pozitiva se numeste radicalul de ordin n al lui a sise nuteaza

$\sqrt[n]{a}$

In toate celelalte cazuri nu avem un criteriu de alegere; care ar fi acel criteriu,valabil pentru toate numerele complexe si care aplicat lui -8 sa furnizeze fix pe -2, in detrimentul lui

$\, - 1 \pm i\sqrt 3$

? Sau, alt argument: vi se pare frumoasa si utila regula

$\,\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {ab}$

? Daca

$\sqrt { - 2} \,\,{\rm ar avea semnificatie}{\rm , atunci ar trebui sa pot scrie }\sqrt { - 2} \cdot \sqrt { - 5} = \sqrt {10}$

.
Dar daca alegerea ar da, sa zicem,

$\sqrt { - 2} = i\sqrt 2 {\rm }{\rm , atunci }\sqrt {{\rm - 2}} \cdot \sqrt { - 5} = i\sqrt 2 \cdot i\sqrt 5 = i^2 \sqrt {10} = - \sqrt {10}$

! Ce buimaceala ar fi!

Fără supărare,problema propusă de autor are sens dar nu are soluţie în niciun fel de mulţime de numere.
Pentru a ne lămuri , rog frumos , a se răspunde la următoarele întrebări:
1.-Cum se calculează $\sqrt{a+bi}=-1$ unde $a \neq 0$ , $b \neq 0$ şi $i^2=-1$ , fără a folosi forma trigonometrică pentru $a+bi$ ?
2.-Care este valoarea lui $\sqrt{4}$ ?
3.-Care este valoarea lui $-\sqrt{4}$ ?
4.-Care este valoarea lui $\sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt{3}$ ?
–––––––––-
Pentru a scăpa de buimăceala privind înmulţirea radicalilor de indice 2 din numere negative , vom efectua mai întâi produsul acelor numere negative de sub radical după care extragem radicalul de indice 2 din acel produs.
––––––––––––––-
Problemă:
Să se rezolve ecuaţia $\sqrt[3]{x}=-1$ .
––––––––––––––––––
Aştept cu interes replica dar şi răspunsuri la toate întrebările mele şi problema propusă de mine.
Mulţumesc mult!

ghioknt · Answer 15 · 2013-04-15T15:13:23+03:00

Am incercat sa sustin ideea ca exista 2 tipuri de radicali care primesc o semnificatie IN URMA UNOR DEFINITII si,
mai mult, sunt obiecte unice (nu multimi): radicalii de ordin impar dintr-un numar real (mai simpatici) si radicalii de
ordin par dintr-un numar real si pozitiv (cu care trebuie deci sa lucram cu mai multa grija). Definitiile in R sunt:
Pentru n impar>1

$\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow (def)\,a = b^n \,\left( {b\,este\,\,unica\,\,solutie\,\,rela\,\,a\,\,ecuatiei\,\,x^n = a} \right)$

Pentru n par>1 si

$a \ge 0]{a} = b \Leftrightarrow (def)\,b \ge 0\,si\,\,a = b^n \,\left( {b\,este\,\,unica\,\,solutie\,\,rela\,si\,pozitiva\,\,a\,\,ecuatiei\,\,x^n = a} \right)$

Daca ne plasam in C, care este o extensie a lui R, aici orice numar complex are n radacini de ordinul n,
solutiile ecuatiei de mai sus. Ca sa extindem notiunea de radical (obiect unic!) macar la o parte dintre numerele nereale,
trbuie sa avem un criteriu de a alege o singura radacina dintre cele n (unicitatea radicalului!), iar daca aplic acest criteriu
unui numar real, care este si el membru cu drepturi depline inC, sa obtin acelasi rezultat ca cel care rezulta aplicand definitiile
din R (vreau sa-mi extind casa fara sa stric ceva din cea veche, in care ma simt atat de bine).
Or, eu nu stiu ce criteriu sa inventez pentru a alege pe

$\sqrt[3]{i}{\rm dintre cos}\frac{\pi }{{\rm 6}} + i\sin \frac{\pi }{6},\,\,\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}\,\,sau\cos \frac{{3\pi }}{2} + i\sin \frac{{3\pi }}{2} = - i\,\,?$

Apoi aceeasi regula trebuie sa dea

$\sqrt[3]{{ - 8}} = - 2,{\rm atunci cand trbuie sa aleg intre 2(cos}\frac{\pi }{{\rm 3}} + i\sin \frac{\pi }{{\rm 3}}),\,2(\cos \pi + i\sin \pi ) = - 2,\,2(\cos \frac{{5\pi }}{3} + i\sin \frac{{5\pi }}{3})$

Acesta a fost un argument pentru a justifica de ce radicalul unui numar nereal nu poate avea o semnificatie
asemanatoare cu radicalul unui numar real.Al doilea argument a fost ca trebuie sa re nunt la regula privind
inmultirea a doi radicali,ceeace ar fi omare pierdere.
Totusi in manualele noastre se foloseste radicalul unui numar complex cu semnificatia largita de multime a tuturor radacinilor de ordin n.
Atunci ecuatia rad(x)=-1ar insemna ,,afla x pentru care una dintre rada cinile patrate este -1” ;evident x=1.
Dar atunci matematica devine un joc de societate de tipul ,,ghici ce vreau sa zic cand zic ca…”. Iaca, propun si eu unul:
,,La ce ma gandesc cand zic ca 3*8=4? indicatie: 2*9=18”. Exercitii:
1)Cu semnificatii stricte pentru radicali, nu inseamna nimic; cu semnificatia largita: a cui radacina patrata este -1?
b este o radacina patrata a lui a eqv. b este radacina aecuatiei x^2=a; ecuatia nu are so lutii.

Integrator · Answer 16 · 2013-04-16T07:19:48+03:00

ghioknt wrote: Am incercat sa sustin ideea ca exista 2 tipuri de radicali care primesc o semnificatie IN URMA UNOR DEFINITII si,
mai mult, sunt obiecte unice (nu multimi): radicalii de ordin impar dintr-un numar real (mai simpatici) si radicalii de
ordin par dintr-un numar real si pozitiv (cu care trebuie deci sa lucram cu mai multa grija).

Fără supărare,dar nu înţeleg de ce nu răspundeţi punctual la întrebările şi problema propusă de mine!!!
–––––––-
1.-Cum se calculează $\sqrt{a+bi}=-1$ unde $a \neq 0$ , $b \neq 0$ şi $i^2=-1$ , fără a folosi forma trigonometrică pentru $a+bi$ ?
Răspunsul meu:
$\sqrt{a+bi}=\pm \bigg(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\frac{b}{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\bigg)$ .În conclzie dacă $\sqrt{x}=\sqrt{a+bi}=-1$ atunci ar trebui ca $\sqrt{a^2+b^2}-a=0$ de unde ar rezulta ca $b=0$ ceea ce nu se poate….şi deci $x$ nu poate fi număr complex.
2.-Care este valoarea lui $\sqrt{4}$ ?
Răspunsul meu:
$\sqrt{4}=2$
3.-Care este valoarea lui $-\sqrt{4}$ ?
Răspunsul meu:
$-\sqrt{4}=-2$
4.-Care este valoarea lui $\sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt{3}$ ?
Răspunsul meu este:
$\sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt{3}=1,0911....+1,8898....i$ , adică un număr complex.
–––––––––-
Pentru a scăpa de buimăceala privind înmulţirea radicalilor de indice 2 din numere negative , vom efectua mai întâi produsul acelor numere negative de sub radical după care extragem radicalul de indice 2 din acel produs.
––––––––––––––-
Problemă:
Să se rezolve ecuaţia $\sqrt[3]{x}=-1$ .
Unii matematicieni (şi eu înclin să cred ca au dreptate) spun că ecuaţia $\sqrt[3]{x}=-1$ nu are niciun fel de soluţii în nicun fel de multime de numere.
–––––––––––
Problemă:
Să se rezolve ecuaţia $x+iy=\sqrt[3]{-1}$
––––––––––––––––
Aştept cu interes replici punctuale!Mulţumesc mult!

bedrix · Answer 17 · 2013-04-16T08:42:48+03:00

1.Cred totusi ca SQRT(z)=-1 , unde z=a+bi , nu are sens. Iata de ce:
Presupunem ca exista z=a+bi=|z|e^(iFI) unde |z|=SQRT(a^2 + b^2) iar argumentul FI=arctan(b/a)
SQRT(z)= (|z|e^(iFI))^(1/2)=((|z|)^1/2)*e^(iFI/2)
-1=e^iPI rezulta ((|z|)^1/2)*e^(iFI/2) = e^iPI rezulta |z|=1 si Fi=2PI rezulta z = 1*e^(i2PI)=1 dar SQRT(1)= -1 (F)

2.Pentru n=impar avem SQRT[n](-x) = -(SQRT[n](x)) , unde SQRT[n](x) = radical de ordinul n din x
Prin urmare din SQRT[3](x) = -1 rezulta x = -1
Iar x+yi = SQRT[3](-1) implica x = -1 si y = 0

3. (SQRT[3](-2))*SQRT(3) = – (SQRT[3](2))*SQRT(3) E R

ghioknt · Answer 18 · 2013-04-16T13:12:42+03:00

Nu am raspuns pentru ca: scriu foarte greu (sunt incepator pe forum, abia invat ); mi s-a terminat timpul; nu stiu sa salvez ce-am scris,
l-am trimis brusc, neterminat, asa ca imi cer scuze. Imaginati-va ce dezamagit am fost azi cand am intrat pe forum si am vazut ca mesajul
precedent, la care lucrasem vreo 3 ore, nu era. Abia mai tarziu am vazut ca exista si pagina 2.
Aveti dreptate, am exagerat cand am scris ca ecuatia nu are sens; are sens dar nu are solutii.
1)Am 3 abordari; a) pentru un numar nereal a+bi nu se defineste UN numar al carui numeral (reprezentare matematica) sa fie

$\sqrt {a + bi}$

.
b)daca radicalul inseamna, ca in multe manuale de clasa a X-a, multimea radacinilor patrate, mai corect ar fi

$- 1 \in \sqrt {a + bi}$

;
c)eu am ales si abordarea fantezista, de care sunt vinovat, cum ca radicalul ar insemna ,,una dintre radacinile patrate ale lui a+bi”
In cazurile b) si c) -1 este radacina numai dacaverifica ecuatia x^2=a+bi, adica (-1)^2=a+bi, 1=a+bi, imposibil daca nu admitem b=0.
2) si 3) au raspunsurile 2,respectiv -2. Aici rad(4) este, cf. definitiei, o notatie (adica un ,,numeral”, sau o reprezentare)
a lui ,,acel numar pozitiv care ridicat la patrat este 4” si care, intamplator, mai are si alte reprezentari (numerale) decat rad(4):
2, II, 10, 12/6 etc (rad(3) este mai sarac in reprezentari).
4)

$\sqrt[3]{{ - 2}} \cdot \sqrt 3 = - \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt 3 = - \sqrt[6]{{2^2 }} \cdot \sqrt[6]{{3^3 }} = - \sqrt[6]{{108}}$

$\sqrt[3]{x} = - 1\, \Leftrightarrow (def)\,\,x = ( - 1)^3 = - 1$

$x + iy = \sqrt[3]{{ - 1}}$

Daca nu se specifica nimic, radicalul nu inseamna altceva decat -1 siraspunsul este x+iy=-1, x=-1 si y=0.
Insa, avand in membrul I un numar complex, aproape sigur exercitiul este o ideograma pentru problema
,,aflati toate radacinile cubice complexe ale lui -1”. pentru asta scriem
$\[ - 1 = \cos \pi + i\sin \pi ,{\rm de unde },,{\rm extragem'' radacinile] \[ \cos \frac{{\pi + 2k\pi }}{3} + i\sin \frac{{\pi + 2k\pi }}{3},\,\,\,k \in \{ 0;1;2\} \,\,\,k = 0]$
In speranta ca am fost suficient de clar si nu am facut prea mari greseli, astept si alte ,,provocari”. Cu stima!

Integrator · Answer 19 · 2013-04-19T07:09:10+03:00

ghioknt wrote: Nu am raspuns pentru ca: scriu foarte greu (sunt incepator pe forum, abia invat ); mi s-a terminat timpul; nu stiu sa salvez ce-am scris,
l-am trimis brusc, neterminat, asa ca imi cer scuze. Imaginati-va ce dezamagit am fost azi cand am intrat pe forum si am vazut ca mesajul
precedent, la care lucrasem vreo 3 ore, nu era. Abia mai tarziu am vazut ca exista si pagina 2.
Aveti dreptate, am exagerat cand am scris ca ecuatia nu are sens; are sens dar nu are solutii.
1)Am 3 abordari; a) pentru un numar nereal a+bi nu se defineste UN numar al carui numeral (reprezentare matematica) sa fie

$\sqrt {a + bi}$

.
b)daca radicalul inseamna, ca in multe manuale de clasa a X-a, multimea radacinilor patrate, mai corect ar fi

$- 1 \in \sqrt {a + bi}$

;
c)eu am ales si abordarea fantezista, de care sunt vinovat, cum ca radicalul ar insemna ,,una dintre radacinile patrate ale lui a+bi”
In cazurile b) si c) -1 este radacina numai dacaverifica ecuatia x^2=a+bi, adica (-1)^2=a+bi, 1=a+bi, imposibil daca nu admitem b=0.
2) si 3) au raspunsurile 2,respectiv -2. Aici rad(4) este, cf. definitiei, o notatie (adica un ,,numeral”, sau o reprezentare)
a lui ,,acel numar pozitiv care ridicat la patrat este 4” si care, intamplator, mai are si alte reprezentari (numerale) decat rad(4):
2, II, 10, 12/6 etc (rad(3) este mai sarac in reprezentari).
4)

$\sqrt[3]{{ - 2}} \cdot \sqrt 3 = - \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt 3 = - \sqrt[6]{{2^2 }} \cdot \sqrt[6]{{3^3 }} = - \sqrt[6]{{108}}$

$\sqrt[3]{x} = - 1\, \Leftrightarrow (def)\,\,x = ( - 1)^3 = - 1$

$x + iy = \sqrt[3]{{ - 1}}$

Daca nu se specifica nimic, radicalul nu inseamna altceva decat -1 siraspunsul este x+iy=-1, x=-1 si y=0.
Insa, avand in membrul I un numar complex, aproape sigur exercitiul este o ideograma pentru problema
,,aflati toate radacinile cubice complexe ale lui -1”. pentru asta scriem
$\[ - 1 = \cos \pi + i\sin \pi ,{\rm de unde },,{\rm extragem'' radacinile] \[ \cos \frac{{\pi + 2k\pi }}{3} + i\sin \frac{{\pi + 2k\pi }}{3},\,\,\,k \in \{ 0;1;2\} \,\,\,k = 0]$
In speranta ca am fost suficient de clar si nu am facut prea mari greseli, astept si alte ,,provocari”. Cu stima!

Mai este puţin şi sper că o să se lămurească totul….
La punctul 4. ,repet , răspunsul corect este cel dat de mine deoarece $\sqrt[3]{-2}$ este un număr complex cu partea reală si cea imagnară diferite de zero.
––––––––––––-
Se demonstrează uşor că:
Ecuaţia $\sqrt[3]{x}=-1$ nu are soluţii.
Ecuaţia

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
x + iy = \sqrt[3]{{ - 1}

*** Error message:
File ended while scanning use of \next@.
Emergency stop.

are o infinitate de soluţii….
–––––––––––––
Cât este $\sqrt{-2}$ ?
Cât este $\sqrt[3]{-2}$ ?
Atenţie la modul de calcul!
–––––––––––––
Cu aceiaşi stimă,
Integrator

bedrix · Answer 20 · 2013-04-19T12:17:58+03:00

bedrix expert (VI)

2013-04-19T12:17:58+03:00A raspuns pe 19 aprilie 2013 la 12:17 PM

Pentru SQRT[3](-2)=… gasim un raspuns in atasament.

Attached files

- 0
Raspunde

ghioknt · Answer 21 · 2013-04-19T14:59:38+03:00

Buna ziua, domnule I.
Cand propuneti ,,calculati

$\sqrt[3]{{ - 2}} \cdot \sqrt 3$

eu ma astept ca cei 2 factori sa fie unic determinati, conform unor definitii,
nu sa fie niste variabile care iau valori in anumite multimi; pentru asa ceva folosim litere. Daca insa aveti in vedere faptul ca,
in cadrul teoriei functiilor de variabila complexa, matematicienii au constatat ca este oportun sa considere functiile radical
(si nu numai) drept functii multiforme, atunci aceasta este o schimbare majora de paradigma si pe mine m-ati pierdut de musteriu. Eu am in vedere doar matematica scolara.
Citez:

$\sqrt[3]{{ - 2}}$

este un numar complex cu partea reala si cea imaginara diferite de 0. M-ar ajuta foarte mult daca l-ati divulga.
Pentru mine el este numarul real, irational,

$- \sqrt[3]{2}$

, iar telefonul meu imi spune ca primele 7 cifre
in baza 10 sunt -1.259921…
,,Ecuatia

$\sqrt[3]{x} = - 1$

nu are solutii” De ce -1 nu verifica aceasta ecuatie?
,,Ecuatia x+iy=

$\sqrt[3]{{ - 1}}$

are o infinitate de solutii.” Aici chiar nu cunosc nicio demonstratie.
,,Cat sunt

$\sqrt { - 2} ,\,\,\sqrt[3]{{ - 2}}$

?” Nu va pot raspunde decat daca si dv. imi spuneti ce intelegeti
prin

$\sqrt { - 2} ,\,\,\sqrt[3]{{ - 2}}$

(semnificatiile lor)
Cu cordialitate,
ghioknt.

Integrator · Answer 22 · 2013-04-20T19:12:23+03:00

Fără supărare,dar autorul acestui topic a propus o problemă foarte bună pentru lămurirea unui tip de ecuaţii de tipul $\sqrt[n]{x}+1=0$ unde $n\geq 2$ este un număr natural.
Pentru a ne lămuri mai repede cu privire la acest tip de ecuaţii rog a se rezolva următoarele ecuaţii:
1. $x+2\sqrt{x}+1=0$

2. $x-2\sqrt{x}+1=0$

3. $x+3\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x} +1=0$

4. $x-3\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x} -1=0$

5. $x-3\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x} +1=0$

6. $x-3\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x} +1=0$

7. $x-3\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x} -1=0$

şi aşa mai departe….Mulţumesc!
Cu stimă,
Integrator

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

o ecuatie

Similare

22 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul