Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Fie ABC un triunghi ascutitunghic si T un punct in interiorul sau. Notam cu M,N,P simetricele lui T fata de dreptele BC, AC si respectiv AB. Daca C este centrul circumscris triunghiului ABC si N,P sunt situate pe C, aratati ca M este de asemenea situat pe cercul C.
Desenam un triunghi ascutitunghic ABC inscris in cerc. Ducem inaltimile AA’, BB’, CC’ si notam intersectia lor cu T. In continuare demonstram ca toate simetricele lui T, fata laturile triunghiului, sunt pe cerc. Daca asa este, atunci T se confunda cu punctul „T descris in enunt”.
Prelungim inaltimile si notam M, N, P intersectile lor cu cercul.
Unghiurile BPC, BAC si BNC sunt congruente intrucat toate sunt jumatate din acelas unghi la centru (BOC) –> triunghiurile dreptunghice CN’B’, CAC’, BAB’, BPC’ sunt toate asemenea –>
unghiul TCB’ = unghiul NCB’ –> triunghiul TCB’ = triunghiul NCB’ –> TB’=NB’ si
unghiul TBC’ = unghiul PBC’ –> triunghiul TBC’ = triunghiul PBC’–> TC’=PC’.
Unghiurile AMC si ABC sunt congruente intrucat sunt jumatate din acelas unghi la centru (AOC) –> triunghiurile dreptunghice CBC’ si CMA’ sunt asemenea –> unghiul TCA’ = unghiul MCA’ –> triunghiul TCA’ = triunghiul MCA’ –> TA’=MA’
Multumesc!
Ceea ce ai demonstrat tu e pe un caz particular. Nu poti merge de la particularitate la generalizare. Posiibil sa fie mai multe puncte T cu aceasta proprietate. Si daca ar fi singurul cred ca ar trebui sa plecam de la faptul ca doar doua puncte sunt pe cerc. Si eu am tot incercat sa arat ca acelea ar fi inaltimi.Plecand doar de la datele enuntului. Multumesc din nou.
Multimea punctelor de pe cerc simetrice fata de AC formeaza un arc Sim(AC) reprezentand simetricul arcului AC al cercului (fata dreapta AC).
Multimea punctelor de pe cerc simetrice fata de AB formeaza un arc Sim(AB) reprezentand simetricul arcului AB al cercului (fata dreapta AB).
Punctul T trebuie sa apartine simultan arcelor Sim(AC) si Sim(AB), intrucat are pe cerc simetrice fata ambele drepte AB si AC. Prin urmare T trebuie sa fie la intersectia arcelor Sim(AC) si Sim(AB) iar intersectia lor reprezinta doar doua puncte: punctul A care nu ne intereseaza si punctul T in discutie.
Deci nu sunt mai multe puncte T, doar unul singur.
Daca vrei sa plecam de la faptul ca doar doua puncte sunt pe cerc duci doar doua inaltimi , pentru inceput, respectiv BB’ si CC’. Dupa ce demonstrezi ca T se afla la intersectia inaltimilor, asa cum am prezentat, duci prin T cea de-a treia inaltime AA’ si continui demonstratia.