Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
a)Sa se arate ca numarul 2222 la puterea 5555 + 5555 la puterea 2222 se divide cu 7
b) Un nr natural cu 2009 cifre are toate cifrele egale cu 5 in afara de una. Sa se arate ca nr nu poate fi patrat perfect.
Salve!
Te ajut la exc. 1 cu cateva sugestii!
Scrii nr. 2222 ca 7*317+3 si pe 5555 ca 793*7+4=> 2222^5555=M7+ 3^5555 si 5555^2222=M7+ 4^2222=>2222^5555+5555^2222=
=M7+ 3^5555 + 4^2222; dar, 3^5555=243^1111 si 4^2222=16^1111;
insa, (a^n + b^n) este divizibil cu (a+b), pt. orice nr. naturale a si b si pentru orice nr. n natural impar;
Mai ai un pas de facut!
Sa ai parte de succes!
La punctul b am gasit o rezolvare dar nu o inteleg, zice ca daca ultima cifra a nr este 5 atunci penultima este 2,de ce?
Daca ultima cifra e diferita de 5 atunci nr se scrie 555……5a=55…….500+5a de unde rezulta ca 5a=m4+1 sau =m4, de ce?
Fie N numarul format din 2008 cifre de 5 si o cifra x diferita de 5
Vom analiza 3 cazuri:
Cazul 1 : cifra x este de ordin mai mare decat ordinul sutelor
N:5=C cum u(C)=1 rezulta 5 | N dar 5^2 nu divide N rezulta N nu este patrat perfect
Cazul 2 : cifra x este de ordinul sutelor deci u(N)=5 rezulta
rezulta 5 | N rezulta conditia necesara 5^2 trebuie sa divida N rezulta u2(N)=25
avem 55555…55525:25=22222221 (2 de 2007 ori)
22222221=2222.2*1000+221=M8+221=M8+27*8+5=M8+5
Orice patrat perfect impartit la 8 da restul in multimea {0,1,4} rezulta N nu este patrat perfect
Cazul 3 : cifra x este de ordinul unitatilor deci u(N)=x E {0,1,4,6,9} rezulta
N=5555.5555x=5555555*100+5xbarat=M4+5xbarat
50=4*12+2=M4+2 ; 51=M4+3 ; 54=M4+2; 56=M4 ; 59=M4+3
Orice patrat perfect impartit la 4 da restul in multimea {0,1} rezulta x=6
Analizam restul N:3
5555.55556:3 da acelasi rest ca si S:3 unde S=5*2008+6=10046=M3+2 rezulta N=M3+2
Orice patrat perfect impartit la 3 da restul in multimea {0,1} rezulta N nu este patrat perfect
Nota : am folosit faptul ca un patrat perfect are ultima cifra in multimea {0,1,4,5,6,9} si x este diferit de 5.
De retinut algoritmul urmator: orice numar p impartit la 4 da restul in multimea {0,1,2,3}
p=M4 rezulta p^2=M4
p=M4+1 rezulta p^2=(M4+1)^2=M4+1
p=M4+2 rezulta p^2=(M4+2)^2=M4+2^2=M4
p=M4+3 rezulta p^2=(M4+3)^2=M4+3^2=M4+1
rezulta orice patrat perfect impartit la 4 da restul in multimea {0,1}