Home/ Intrebari/Q 79743
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

m_radw.ro
Pe: 2013-01-07T11:24:59+02:00 In: In:

EXPLICATIE INDUCTIA MATEMATICA

Mi se cere sa demonstrez prin inductie matematica urmatoarea inegalitate:
2^n>n^2 pt oricare ar fi n numar natural mai mare sau egal cu 5

Eu am gasit o rezolvare dar nu inteleg demonstratia pentru P(n+1) care este urmatoarea:

2^n+1>(n+1)^2
5>sau =5 rezulta ca 2>(1/n)^2
2>1+2/n+1/n^2|*n^2
2n^2>n^2+2n+1
2^n+1=2^n*2>n^2+n^2>n^2+2n+1 =(n+1)

Am marcat cu albastru zona pe care nu o inteleg si daca puteti sa imi explicati sau sa imi spuneti daca este vreo formula folosita .

Va multumesc anticipat!!!

Similare

1 raspuns

  1. gunty
    maestru (V)

    Sa demonstram ca \[ P_{(n)} ] este adevarat.

    1. Verificam P(5):
    \[ P_{(5)} ]

    2. Presupunem ca P(k) e adevarat (k>4):
    \[ P_{(k)} ]

    3. Demonstram ca P(k+1) este adevarat:
    \[ P_{(k + 1)} ]
    Din (*1) si (*2) primim ca e destul de demonstrat ca

        \[ k^2 \cdot 2 > k^2 + 2k + 1 \Leftrightarrow k^2 - 2k - 1 > 0 \Leftrightarrow k^2 - 2k + 1 > 2 \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)^2 > 2 \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| > \sqrt 2 \]

    Deoarece k>4, inseamna ca |k-1|>3>radical(2). Asadar P(k+1) este adevarat.
    Deoarece P(5) adevarat si P(k)->P(k+1) adevarat, urmeaza ca P(n) adevarat.

    * Daca ai nelamuriri, astept intrebari.

Raspunde

Raspunde