Home/ Intrebari/Q 79562
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

MathDa
Pe: 2012-12-16T14:10:53+02:00 In: In:

Alta inegalitate deosebita

O inegalitate grea

Attached files

Similare

8 raspunsuri

  1. ali
    maestru (V)

    Este o problema frumoasa … astept sursa !

  2. MathDa

    ali wrote: Este o problema frumoasa … astept sursa !


    De pe alt forum a fost luata

  4. ali
    maestru (V)

    Domnule MathDa ti-am rezolvat în sfârsit problema …. însă nu cred ca ti-ar plăcea sa sti câte rânduri am folosit …..
    Povesteste-mi, te rog, mai multe despre problema …. dacă stii exact date referitoare la: [list]

  6. autor ;
  8. culegere/manual/concurs ;
  10. nivelul la care a fost propusa (adică clasa);
    11. Initial, am crezut ca inegalitatea ta este un foarte tare adică RHS(right hand side) se apropie foarte mult de LHS (left hand side) … însă, după ce am rezolvat problema s-a dovedit ca se putea restrânge mult mai mult!
    De acum încolo pot sa dorm linistit 😀

  • MathDa

    Este problema de clasa a IX a atata stiu autorul nu este precizat

  • Zeus
    veteran (III)

    Chiar sunt curios cum ai rezolvat-o! Oare ai rezolvat-o ca mine sau printr-o alta metoda!!!

  • ali
    maestru (V)

    Este kilometrica … dar cred ca este „dragută”:
    \begin{array}{l} LHS = \sum {\frac{{x + y}}{{1 + {z^2}}}} \ge \sum {\frac{{x + y}}{{{{\left( {1 + z} \right)}^2}}}\,} \ge \limits^{{\rm{Demonstram}}} \,\frac{{27}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = RHS\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x + y = a\\ y + z = b\\ z + x = c \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{a + c - b}}{2}\\ y = \frac{{a + b - c}}{2}\\ z = \frac{{b + c - a}}{2} \end{array} \right. \to x + y + z = \frac{{a + b + c}}{2}.\\ \\ LHS = \frac{a}{{{{\left( {2 + b + c - a} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {2 + a + c - b} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {2 + a + b - c} \right)}^2}}} \ge \frac{{27}}{{4\left( {a + b + c} \right)}} \end{array}

    \begin{array}{l} CB{S_3}:\left( {6 + b + c - a + a + c - b + a + b - c} \right)\left( {\frac{a}{{{{\left( {2 + b + c - a} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {2 + a + c - b} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {2 + a + b - c} \right)}^2}}}} \right)\\ \\ \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \ge \limits^{{\rm{Demonstram}}} \,\,\frac{{27 \times \left( {6 + a + b + c} \right)}}{{4\left( {a + b + c} \right)}}\\ \\ \Leftrightarrow 4\left( {a + b + c} \right){\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \ge 27 \times \left( {6 + a + b + c} \right)\\ \\ \Leftrightarrow \limits^{{{\left( {MA - MG} \right)}_3}} 4\left( {a + b + c} \right){\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \ge 4 \times 27 \times \sqrt {{{\left( {abc} \right)}^2}} \ge \limits^{{\rm{Demonstram}}} \,27 \times \left( {6 + a + b + c} \right)\, \end{array}

    \begin{array}{l} \to \limits^{{\rm{Revin la x}}{\rm{,y}}{\rm{,z + }}{{\left( {MA - MG} \right)}_2}} 8\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} \ge 3 + xyz\\ \\ 64{\left( {xyz} \right)^2} \ge 9 + 6xyz + {\left( {xyz} \right)^2} \to 64{x^2} \ge 9 + 6x + {x^2} \to x \ge \frac{3}{7}\,\\ \\ {\rm{Conditie initiala: }}x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} \Leftrightarrow xyz \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow x \ge 3\sqrt 3 \ge \frac{3}{7} \to q.e.d! \end{array}

    Sper ca nu s-a strecurat pe undeva o mica eroare …. FAC CRIZA 🙂

  • MathDa

    ali wrote: Este kilometrica … dar cred ca este „dragută”:
    \begin{array}{l} LHS = \sum {\frac{{x + y}}{{1 + {z^2}}}} \ge \sum {\frac{{x + y}}{{{{\left( {1 + z} \right)}^2}}}\,} \ge \limits^{{\rm{Demonstram}}} \,\frac{{27}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = RHS\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x + y = a\\ y + z = b\\ z + x = c \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{a + c - b}}{2}\\ y = \frac{{a + b - c}}{2}\\ z = \frac{{b + c - a}}{2} \end{array} \right. \to x + y + z = \frac{{a + b + c}}{2}.\\ \\ LHS = \frac{a}{{{{\left( {2 + b + c - a} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {2 + a + c - b} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {2 + a + b - c} \right)}^2}}} \ge \frac{{27}}{{4\left( {a + b + c} \right)}} \end{array}

    \begin{array}{l} CB{S_3}:\left( {6 + b + c - a + a + c - b + a + b - c} \right)\left( {\frac{a}{{{{\left( {2 + b + c - a} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {2 + a + c - b} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {2 + a + b - c} \right)}^2}}}} \right)\\ \\ \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \ge \limits^{{\rm{Demonstram}}} \,\,\frac{{27 \times \left( {6 + a + b + c} \right)}}{{4\left( {a + b + c} \right)}}\\ \\ \Leftrightarrow 4\left( {a + b + c} \right){\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \ge 27 \times \left( {6 + a + b + c} \right)\\ \\ \Leftrightarrow \limits^{{{\left( {MA - MG} \right)}_3}} 4\left( {a + b + c} \right){\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \ge 4 \times 27 \times \sqrt {{{\left( {abc} \right)}^2}} \ge \limits^{{\rm{Demonstram}}} \,27 \times \left( {6 + a + b + c} \right)\, \end{array}

    \begin{array}{l} \to \limits^{{\rm{Revin la x}}{\rm{,y}}{\rm{,z + }}{{\left( {MA - MG} \right)}_2}} 8\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} \ge 3 + xyz\\ \\ 64{\left( {xyz} \right)^2} \ge 9 + 6xyz + {\left( {xyz} \right)^2} \to 64{x^2} \ge 9 + 6x + {x^2} \to x \ge \frac{3}{7}\,\\ \\ {\rm{Conditie initiala: }}x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} \Leftrightarrow xyz \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow x \ge 3\sqrt 3 \ge \frac{3}{7} \to q.e.d! \end{array}

    Sper ca nu s-a strecurat pe undeva o mica eroare …. FAC CRIZA 🙂


    Ms mult pentru aceasta solutie exceptionala,alta mai buna nu stiu daca se poate gasi

  • Zeus
    veteran (III)

    Frumoasa dar vorba ta kilometrica… eu am una mai scurta dar care s-a lungit mult din cauza ca e una care nu e tare! Bine ca nu am gandit la fel 🙂)

    • Raspunde

    Raspunde