Home/ Intrebari/Q 79032
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

DOV
user (0)
Pe: 2012-11-17T11:57:56+02:00 In: In:

Matrici si tederminanti

A, B matrici de ordin n cu propietatea ca AB=BA
Demonstrati ca det(A^2+B^2)>=0

La sfarsitul cartii mele incepe prin a scrie ca det(A^2+B^2)=det[(A+iB)(A-iB)]=det(A+iB)det(A-iB) si de aici nu mai avea nici un sens…

Similare

4 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    Ce anume nu mai avea sens?

    Considerand ca matricile sunt cu elemente reale (asta ai uitat sa precizezi!), avem :

    \[ \det \left( {A - iB} \right) = \overline {\det \left( {A + iB} \right)},

    asa ca notand

        \[ \det \left( {A + iB} \right) = z \]

    , obtinem ca:

        \[ \det \left( {A + iB} \right) \cdot \det \left( {A - iB} \right) = z \cdot \overline z = \left| z \right|^2 \ge 0 \]

    .

    • 0
  2. DOV
    user (0)

    Da, sunt elemente reale.

    Nu avea sens ca: zice in loc de det(A-iB)=det(A-iB) conjugat. Ma gandeam ca e gresit dar oricum n-am putuy sa rezolv nici invers.

    Egalitatea det(A-iB)=det(A+iB)_conjugat nu mi se pare atat de evidenta. As intelege daca ar fi doar deasupra lui (A+iB), dar daca ai putea sa imi explici de ce se distribuie si determinantui…

    Cel mai probabil e adevarat, dar nu pot sa scriu partea asta fara sa o demonstrez si pentru mine asta a fost partea cea mai grea^^.

    • 0
  4. ex-admin
    profesor

    DOV wrote: Egalitatea det(A-iB)=det(A+iB)_conjugat nu mi se pare atat de evidenta. As intelege daca ar fi doar deasupra lui (A+iB)

    Deoarece A+iB este o matrice cu elemente numere complexe, are sens sa vorbim dspre determinantul ei. Acesta (determinantul) fiind un numar complex, are sens si conjugatul sau.

    In schimb, notiunea de „conjugata a unei matrice” nu este definita!

    DOV wrote: daca ai putea sa imi explici de ce se distribuie si determinantui…

    Tii seama de urmatoarele considerente:

    1) Elementele matricii (A-iB) sunt tocmai conjugatele elementelor matricii (A+iB)
    2) Determinantul este o suma algebrica de produse
    3) Conjugatul se mentine atat prin sume cat si prin inmultire, adica \[ \overline {z_1 } \pm \overline {z_2 } = \overline {z_1 \pm z_2 } si \[ \overline {z_1 } \cdot \overline {z_2 } = \overline {z_1 \cdot z_2 } .

    Clar?

    • 0
  5. DOV
    user (0)

    Inteleg nu stiu de ce aveam impresia ca conjugatul nu se distribuie si la adunare. Multumesc!

    • 0
Raspunde

Raspunde