Buna seara. Am 2 probleme:
1)Fie a(n)=(-1)^(n+1), n >=1. Se poate obtine din a(n) un sir covergent prin indepartarea unui numar finit de termeni? Dar infinit? Care sunt limitele sirurilor obtinute?
2)Se considera sirul a(n), astfel incat a(n) apartine R\Q, oricare ar fi n apartine N* si l=lim a(n). Rezulta ca l=R\Q?
La prima problema stiu proprietatea ca prin adaugarea sau inlaturarea unui numar finit de termeni se obtine un sir cu aceeasi limita dar cum demonstrez? La a doua chiar nu am habar. Va multumesc!
Avem sirul:
Observam ca subsirul termenilor de rang par al acestui sir, se poate scrie asa:
dar
inseamna un numar impar, deci
. In mod analog
adica subsirul termenilor de rang impar este sirul constant 1.
Observam ca
dar
adica sirul nostru este format din subsirul termenlilor de rang par si subsirul termenilor de rang impar.
Se observa de asemenea ca sirul dat nu este convergent pentru ca este compus din 2 subsiruri care au limite diferite.
Pentru a raspunde la cerinta exercitiului: daca inlaturam un numar finit de termeni ai sirului, nu vom obtine un sir convergent pentru ca sirul dat nu este convergent, si doar prin indepartarea unui numar infinit de termeni ai sirului putem obtine un sir convergent (de exemplu, daca indepartezi toti termenii de rang par, vei obtine un sir care converge la 1 (sirul termenilor de rang impar)).
Cred ca logica poate fi luata in considerare.
La 2 inca ma mai gandesc.
an =-1,+1,-1,-1,…
an este sir oscilant si este divergent, pt ca exiista 2 subsiruri ale sale care tind spre limite diferite
pt n impar a`n=1,1,1,… care este un sir constant cu limita 1
pt n par a„n=-1,-1,-1… cu limita -1
Daca elimini un numar finit de termeni (sa zicem primii 10) natura sirului nu se schimba(conf teoremei enuntate de tine), deci el ramane in continuare divergent
Daca elimini un nr infinit de termeni poti obtine un sir convergent
Ex A`n=(-1)^(2K+1)=-1, -1,-1….cu limita -1
Ai eliminat din sir toti termenii pozitivi (1)
La celalt exercitiu trebuie sa ma gandesec putin
nu-i obligatoriuex an=(ln n)/n Toti termenii sunt irationali dr limiota sirului o eQ
Frumos exemplu, sandy_sc