Home/ Intrebari/Q 78584
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

gunty
maestru (V)
Pe: 2012-10-25T09:24:43+03:00 In: In:

Problema – numere reale

Determinaţi numerele reale pozitive

    \[ x_n \]

,

    \[ n \in N^* \]

, cu proprietatea că

    \[ x_n \cdot (x_1 + x_2 + ... + x_n ) = \frac{1}{{(n + 1)^2 }} \]

, pentru orice

    \[ n \in N^* \]

.

Similare

6 raspunsuri

  1. red12dog34
    veteran (III)

    Pentru n=1 se obtine x_1^2=\frac{1}{4}\Rightarrow x_1=\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}
    Pentru n=2 se obtine x_2\left(\frac{1}{2}+x_2\right)=\frac{1}{9}.
    Facand calculele se obtine ecuatia 18x_2^2+9x_2-2=0 cu solutia pozitiva x_2=\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}.
    Presupunem ca x_p=\frac{1}{p\(p+1)}, \ \forall p\leq k si se demonstreaza ca x_{k+1}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Bine ati revenit, domnule red_dog😀.😀

  4. gunty
    maestru (V)

    Multumesc pentru raspunsuri. Mi-am cam facut o idee cum se rezolva, va rog sa verificati daca e ok in felul urmator:

    1. „Imi dau seama” si presupun ca

        \[ x_n = \frac{1}{{n(n + 1)}} \]

    este adevarat.

    2. Demonstrez ca

        \[ \frac{1}{{n(n + 1)}} \cdot \left( {\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right) = \frac{1}{{(n + 1)^2 }} \]

    Deoarece egalitatea e demonstrata, iese ca

        \[ x_n = \frac{1}{{n(n + 1)}} \]

    *Stiu ca sunt rezolvarile scrise pas cu pas, insa doresc sa aflu daca am inteles corect ce e de facut.

  5. Integrator
    maestru (V)

    red_dog wrote: Pentru n=1 se obtine x_1^2=\frac{1}{4}\Rightarrow x_1=\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}
    Pentru n=2 se obtine x_2\left(\frac{1}{2}+x_2\right)=\frac{1}{9}.
    Facand calculele se obtine ecuatia 18x_2^2+9x_2-2=0 cu solutia pozitiva x_2=\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}.
    Presupunem ca x_p=\frac{1}{p\(p+1)}, \ \forall p\leq k si se demonstreaza ca x_{k+1}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}


    Fara suparare,dar se cer valorile reale pozitive ale lui x_n adica x_n \in R^+ unde n \in N^+.Pentru fiecare n \in N^+ rezulta o infinitate de solutii.Acele solutii sunt doar solutii particulare ale lui x_n \in R^+ impuse prin preluare de la valori anterioare ale lui n \in N^+.Gresesc cumva?Multumesc!
    1) Pentru n=1 rezulta x_1=\frac{1}{2}.
    2) Pentru n=2 rezulta x_1=\frac{1-9 \cdot x^2_2}{9 \cdot x_2} unde obligatoriu trebuie ca 0<x_2<\frac{1}{3} si deci exista o infinitate de numere reale pozitive x_1,x_2 astfel incat x_2 \cdot (x_1+x_2)=\frac{1}{9}.
    Gresesc cumva?Multumesc!

  6. PhantomR
    expert (VI)

    Domnule Integratororice

  8. Integrator
    maestru (V)

    PhantomR wrote: Domnule Integrator, se dă că acea relatie din enunt este adevărată pentru orice n\in\mathbb{N}^{*}. Aceasta înseamnă că putem da orice valoare lui n\in\mathbb{N}^{*}. Punem n=1 \Rightarrow x_1=\frac{1}{2}. Apoi punem n=2 x_2(x_1+x_2)=\frac{1}{9}, deci cum x_1=\frac{1}{2}, avem x_2 \left ( \frac{1}{2} +x_2 \right) = \frac{1}{9} si se rezolvă ecuatia de gradol doi în x_2.


    Fara suparare,dar nu inteleg,caci din enuntul problemei nu rezulta ca trebuie sa rezolvam un sistem de ecuatii avand n ecuatii si n necunoscute.Ceea ce s-arezolvat mai sus este deci un sistem de ecuatii ori in enunt nu se vorbeste despre niciun sistem de ecuatii.Eu cred in continuare ca acele valori ale lui x_1,x_2,...........x_{n-1},x_n sunt doar niste valori particulare.Eu asa inteleg enuntul problemei si anume ca nu este vorba de un sistem de ecuatii.Multumesc!

Raspunde

Raspunde