Salut!
Am un sir de forma:
![\[ a_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\log _{\frac{1}{3}} \frac{{k^2 + 2k}}{{\left( {k + 1} \right)^2 }}} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf428b3fcd1ae5b4b82ced51fdb267d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Imi cere sa arat ca acest sir este convergent.
Nu am reusit sa rezolv integral acest exercitiu insa am ajuns la o forma mai simpla:
Aplicam proprietatea logaritmului (diferenta de logaritmi) si avem:
![\[ a_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\log _{\frac{1}{3}} \left( {k^2 + 2k} \right) - \log _{\frac{1}{3}} \left( {k + 1} \right)^2 } \right]} = \sum\limits_{k = 1}^n {\log _{\frac{1}{3}} \left( {k^2 + 2k} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^n {\log _{\frac{1}{3}} \left( {k + 1} \right)^2 } \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b9f65a33416941b15f33b942d015da9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Acum, aplicand proprietatea sumei logaritmului, avem:
![\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {\log _{\frac{1}{3}} \left( {k^2 + 2k} \right)} = \log _{\frac{1}{3}} \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {k^2 + 2k} \right)} \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\log _{\frac{1}{3}} \left( {k + 1} \right)^2 } = \log _{\frac{1}{3}} \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)^2 } \\ a_n = \log _{\frac{1}{3}} \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {k^2 + 2k} \right)} - \log _{\frac{1}{3}} \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)^2 } = \log _{\frac{1}{3}} \frac{{\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {k\left( {k + 2} \right)} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)^2 } }} = \\ = \log _{\frac{1}{3}} \frac{{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot k\left( {k + 2} \right)}}{{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot ... \cdot \left( {k + 1} \right)^2 }} \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6cb158f85d8fdb7ee13a1c932cb9c1d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Se observa ca in ultima forma a termenului general, factorii produselor se reduc succesiv. In urma analizarii unui caz particular (de exemplu n = 8 ) se observa ca la numarator ramane 
iar la numitor ramane 
. Deci termenul general devine:
![\[ a_n = \log _{\frac{1}{3}} \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56ec364a64987647a4e184c294a93205_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Acum termenul general este la o forma mai simpla.
Pentru a demonstra ca sirul este convergent, ar trebui sa aplic teorema lui Weierstrass. Trebuie sa demonstrez marginirea si monotonia sirului:
Monotonie:
![\[ \begin{array}{l} a_{n + 1} - a_n = \log _{\frac{1}{3}} \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{2} - \log _{\frac{1}{3}} \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} = \log _{\frac{1}{3}} \frac{{\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}}. \\ \frac{1}{3} < 1,\,\,\frac{{\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}} > 1 \Rightarrow \log _{\frac{1}{3}} \frac{{\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}} < 0 \Rightarrow a_n \,\,s \downarrow \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8542f5c4220ea4a7c61952931469d585_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Deci sirul este monoton descrescator, ceea ce inseamna ca primul termen este cel mai mare.
![\[ a_0 = \log _{\frac{1}{3}} \frac{2}{2} = 0 > a_n \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3ed7e9ab6d46bcedf04122ab5aed6d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Acum nu pot sa-mi imaginez cum se poate determina marginea inferioara a sirului (asta daca am calculat corect pana aici).
As vrea daca se poate sa imi dati o parere in legatura cu rezolvarea mea si implicit in legatura cu rezolvarea exercitiului.
Multumesc.
Scuzati . AM uitat functia ” log in baza1/3″.Te rog s-o adaugi tu.
Multumesc foarte mult pentru raspuns.
Problema e ca nu prea vad unde am scris
. Va referiti la
?
Multumesc.
„an” are expresia scrisa de mine.Tu nu ai scris-o bine si in argumentul logaritmului este (1/2).((n+2)/(n+1))
Am inteles. Multumesc DD.