Home/ Intrebari/Q 78459
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

OVIDIU1971
user (0)
Pe: 2012-10-18T17:46:25+03:00 In: In:

problema

Sa se arate ca numarul N= 111 la puterea 2 +222 la puterea 2+333 la puterea 2+444 la puterea 2+555 la puterea 2-12345 nu este patrat perfect

Similare

16 raspunsuri

  1. Integrator
    maestru (V)

    OVIDIU1971 wrote: Sa se arate ca numarul N= 111 la puterea 2 +222 la puterea 2+333 la puterea 2+444 la puterea 2+555 la puterea 2-12345 nu este patrat perfect


    Putem scrie ca N=111^2 \cdot (1+4+9+16+25)-12345=111^2 \cdot 55-12345=677655-12345=665310=66,531 \cdot 10^4 si deci \sqrt{N}=\sqrt{66,531 \cdot 10^4}=\sqrt{66,531} \cdot 10^2 ceea ce inseamna ca \sqrt{66,531} nu ar trebui sa aiba mai mult de doua zecimale daca N este patrat perfect,dar cum \sqrt{66,531} are mai mult de doua zecimale atunci rezulta ca N nu este patrat perfect.

    • 0
  2. ali
    maestru (V)

    indicatie: n \vdots 10 \wedge n\not \vdots 100 \Rightarrow n \ne p.p
    ….. presupun ca iasă mai repede 😀

    • 0
  4. Integrator
    maestru (V)

    ali wrote: indicatie: n \vdots 10 \wedge n\not \vdots 100 \Rightarrow n \ne p.p
    ….. presupun ca iasă mai repede 😀


    Fara suparare,dar nu inteleg si de aceea rog a se da detalii.Multumesc!

    • 0
  5. OVIDIU1971
    user (0)

    Multumesc pentru raspuns la problema dar noi suntem clasa a 5 a.
    Ne-ar trebui o varinta de rezolvare ce poate fi inteleasa la clasa a 5 a

    • 0
  6. ali
    maestru (V)

    Fara suparare,dar nu inteleg si de aceea rog a se da detalii


    Se poate arata lejer (fără a calcula suma) ca ultimele 2 cifre a numărului dat sunt 10 => numărul este divizibil cu 10 dar nu si cu 100 … iar dacă un număr este divizibil cu 10 dar nu si cu 100 atunci acel număr nu este p.p (se poate demonstra într-un rând folosind proprietatea divizorilor primi).

    • 0
  8. OVIDIU1971
    user (0)

    Revin cu o mare rugaminte sa ma ajutati, chiar nu imi dau seama de rezolvare:

    Nu-mi dau seama cum pot demonstra ca penultima cifra este 1?
    si nici ” dacă un număr este divizibil cu 10 dar nu si cu 100 atunci acel număr nu este p.p (se poate demonstra într-un rând folosind proprietatea divizorilor primi).

    • 0
  9. OVIDIU1971
    user (0)

    Revin cu o mare rugaminte sa ma ajutati, chiar nu imi dau seama de rezolvare:

    Nu-mi dau seama cum pot demonstra ca penultima cifra este 1?
    si nici ” dacă un număr este divizibil cu 10 dar nu si cu 100 atunci acel număr nu este p.p (se poate demonstra într-un rând folosind proprietatea divizorilor primi).

    • 0
  10. Integrator
    maestru (V)

    ali wrote:

    Fara suparare,dar nu inteleg si de aceea rog a se da detalii


    Se poate arata lejer (fără a calcula suma) ca ultimele 2 cifre a numărului dat sunt 10 => numărul este divizibil cu 10 dar nu si cu 100 … iar dacă un număr este divizibil cu 10 dar nu si cu 100 atunci acel număr nu este p.p (se poate demonstra într-un rând folosind proprietatea divizorilor primi).


    Fara suparare,dar tot nu inteleg caci din acea afirmatie rezulta ca orice numar care se divide cu 100 este patrat perfect.Eu zic ca un numar care se termina cu un numar par de zerouri consecutive este patrat perfect daca si numai daca numarul obtinut dupa detasarea acelui numar par de zerouri este patrat perfect.Este evident ca daca un numar nu se sfarseste cu un numar par de zerouri consecutive atunci acel numar nu este un patrat perfect.Gresesc cumva?Multumesc!
    Numarul 16400 se divide cu 100 si numarul 16400 in mod sigur nu este patrat perfect.As dori clarificari detaliate.Ideea este foarte buna si mai simpla ca sa aratam ca penultima cifra este diferita de zero si se arata usor daca se considera patratul lui 11,al lui 22,…si al lui 55 si adunand numerele formate cu ultimile doua cifre ale acestor patrate rezulta in final un numar care are ultimile doua cifre egale cu 5 si deci cum ultimile doua cifre ale lui 12345 sunt 45 atunci numarul din problema se termina cu cifrele 1 si 0 si deci numarul nu se divide cu 100 si asta intr-adevar inseamna ca in mod sigur numarul nu este patrat perfect.Multumesc!

    • 0
  12. diamondminer
    user (0)

    Am incercat cateva aranjamente dar tot n-am reusit sa scot un factor comun ca sa-mi iasa un patrat perfect. Mai incearca si tu!

        \[n = {111^2} + {222^2} + {333^2} + {444^2} + {555^2} - 12345 = \left\{ \begin{array}{l} = {111^2} + 2*{111^2} + 3*{111^2} + 4*{111^2} + 5*{111^2} - \underbrace {12321}_{{{111}^2}} - 24\\ = {111^2}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 1) - 24 = {111^2}(14) - 24\\ = {111^2} + 2*{111^2} + 3*{111^2} + 4*{111^2} + 5*{111^2} - \underbrace {111*112}_{} - 24 \end{array} \right.\]

    • 0
  13. Integrator
    maestru (V)

    diamondminer wrote: Am incercat cateva aranjamente dar tot n-am reusit sa scot un factor comun ca sa-mi iasa un patrat perfect. Mai incearca si tu!

        \[n = {111^2} + {222^2} + {333^2} + {444^2} + {555^2} - 12345 = \left\{ \begin{array}{l} = {111^2} + 2*{111^2} + 3*{111^2} + 4*{111^2} + 5*{111^2} - \underbrace {12321}_{{{111}^2}} - 24\\ = {111^2}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 1) - 24 = {111^2}(14) - 24\\ = {111^2} + 2*{111^2} + 3*{111^2} + 4*{111^2} + 5*{111^2} - \underbrace {111*112}_{} - 24 \end{array} \right.\]


    Rog a se reciti mesajul meu anterior in care am adaugat cum se demonstreaza ca numarul din problema se termina cu 10 si deci numarul din problema nu este patrat perfect.Multumesc!

    • 0
  14. diamondminer
    user (0)

    [/tex]
    Rog a se reciti mesajul meu anterior in care am adaugat cum se demonstreaza ca numarul din problema se termina cu 10 si deci numarul din problema nu este patrat perfect.Multumesc!

    Am citit indicatiile. Dar cum putem afla daca ultimele doua cifre NU sunt 00?

        \[\begin{array}{l} n = \underbrace {{\rm{11}}{{\rm{1}}^2}}_{U = 1}*\underbrace {14}_{U = 4} - \underbrace {24}_{U = 4} \Rightarrow {U_n} = 1*4 - 4 = 0\\ {\rm{Ca }}n{\rm{ sa fie }}p.p.{\rm{ ar trebui ca }}{111^2}*14 - 24 = 100*{k^2}{\rm{ (Dupa cum spune Integrator)}}\\ {111^2} = {(100 + 11)^2} = {M_{100}} + {11^2}{\rm{ (O forma ``relaxata`` a Binomului lui Newton}}{\rm{, acceptata la clasa a V - a)}}\\ n = {111^2}*14 - 24 \Leftrightarrow n = {M_{100}} + {11^2}*14 - 24 \Rightarrow \end{array}\]

    • 0
  16. ali
    maestru (V)

    Integrator wrote: Fara suparare,dar tot nu inteleg caci din acea afirmatie rezulta ca orice numar care se divide cu 100 este patrat perfect


    Nu ……. nu-i adevarat !
    Acea afirmatie este o consecintă ….. adică … nu spune nimic de faptul ca orice număr care se termina în 00 gata e p.p ci doar restrânge acele pătrate perfecte care se termina în 00…. si acele numere care se termina în 0.

    Nu-mi dau seama cum pot demonstra ca penultima cifra este 1?


    Citeste rationamentul lui integrator…

    Ca tema …. verifica dacă exista un p.p care este divizibil cu 5 dar nu si cu 25.
    😉

    • 0
  17. OVIDIU1971
    user (0)

    La raspunsuri este data solutia:

    Cifra zecilor lui N este 1 si a unitatilor este 0. N este de forma 4k+2, k nr natural.

    Nr naturale de forma nu sunt patrate perfecte.

    Cum putem ajunge la N de forma 4k+2?

    • 0
  18. ali
    maestru (V)

    OVIDIU1971 wrote: Cifra zecilor lui N este 1 si a unitatilor este 0. N este de forma 4k+2, k nr natural.


    dl, nu toate răspunsurile din carte sunt si cele mai eficiente … eu dacă sunt profesor si vad o astfel de rezolvare dau nota 2 (deci bn ca nu sunt profesor) … pentru a rezolva după aceasta metoda trebuie sa parcurgi etapele:

    2. Determini ultima si penultima cifra a sumei;
    4. demonstrezi ca S (suma) este de forma 4k+2;
    6. demonstrezi orice număr natural scris sub-forma 4k+2 nu este pătrat perfect;

    Sunt foarte curios de sub-punctul 3…. Crede-ma dacă îmi demonstrez acest sub-punct….atunci ma ocup eu de restul detaliat … foarte detaliat .

    • 0
  20. edy8
    maestru (V)

    OVIDIU1971 wrote: Sa se arate ca numarul N= 111 la puterea 2 +222 la puterea 2+333 la puterea 2+444 la puterea 2+555 la puterea 2-12345 nu este patrat perfect

    \it{\Large \bl 815^2 < N < 816^2}

    • 0
  21. ali
    maestru (V)

    \it{\Large \bl 815^2 < N < 816^2}


    Orice număr natural care nu este p.p este automat cuprins intre 2 p.p consecutive … deci nu este un mare secret !…. însă, se pune problema cum ai aflat acele 2 p.p ?
    Ar fi frumos sa dai detalii ….

    Ps: prin acest mesaj nu am presupus nimic !!!…. sper sa nu se interpretează gresit.

    • 0
Raspunde

Raspunde