Home/ Intrebari/Q 78343
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felicia_b
user (0)
Pe: 2012-10-13T13:24:13+03:00 In: In:

permutari

1. Fie

    \[x_1 ,x_2 ,x_3 \in \left( {\frac{1}{2},2} \right)\]

si

    \[ \sigma \in S_3 \]

. Sa se arate ca are loc inegalitatea:

    \[\left( {x_1 + \frac{1}{{x_{\sigma (1)} }}} \right)\left( {x_2 + \frac{1}{{x_{\sigma (2)} }}} \right)\left( {x_3 + \frac{1}{{x_{\sigma (3)} }}} \right) < \left( {\frac{5}{2}} \right)^3 \]

2. Sa se gaseasca permutarea

    \[\sigma \in S_n \]

care are un numar maxim de inversiuni.

3. Fara a se face produsul (13)(23)(34)(46)(65) ,sa se precizeze semnul permutarii

    \[\sigma\]

=(13)(23)(34)(46)(65).

Similare

5 raspunsuri

  1. xor_NTG
    maestru (V)

    Am incercat sa rezolv prima inegalitate cu ajutorul inegalitatii MG-MA, numai ca ceva nu merge bine:

    Deci avem inegalitatea:

        \[ \begin{array}{l} x_1 ,x_2 ,x_3 \in \left( {\frac{1}{2},2} \right),\,\,\sigma \in S_3 \\ \left( {x_1 + \frac{1}{{\sigma \left( 1 \right)}}} \right)\left( {x_2 + \frac{1}{{\sigma \left( 2 \right)}}} \right)\left( {x_3 + \frac{1}{{\sigma \left( 3 \right)}}} \right) < \left( {\frac{5}{3}} \right)^3 \\ \end{array} \]

        \[ \begin{array}{l} Din\,\,MG - MA]{{\left( {x_1 + \frac{1}{{\sigma \left( 1 \right)}}} \right)\left( {x_2 + \frac{1}{{\sigma \left( 2 \right)}}} \right)\left( {x_3 + \frac{1}{{\sigma \left( 3 \right)}}} \right)}} \\ \end{array} \]

    Prelucram doar membrul stang:

        \[ \begin{array}{l} x_1 + \frac{1}{{\sigma \left( 1 \right)}} + x_2 + \frac{1}{{\sigma \left( 2 \right)}} + x_3 + \frac{1}{{\sigma \left( 3 \right)}} = x_1 + x_2 + x_3 + \frac{1}{{\sigma \left( 1 \right)}} + \frac{1}{{\sigma \left( 2 \right)}} + \frac{1}{{\sigma \left( 3 \right)}} = \\ = x_1 + x_2 + x_3 + \frac{{\sigma \left( 2 \right)\sigma \left( 3 \right) + \sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 3 \right) + \sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 3 \right)}}{{\sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 2 \right)\sigma \left( 3 \right)}} \\ \end{array} \]

    Acum ma gandesc asa:

        \[ \sigma \left( 1 \right),\sigma \left( 2 \right),\sigma \left( 3 \right) \]

    pot lua valori in multimea

        \[ A = \left\{ {1,2,3} \right\} \]

    pentru ca \sigma \in S_3 deci, avand in vedere comutativitatea produsului pe multimea numerelor reale, orice valori din multimea A ar lua

        \[ \sigma \left( 1 \right),\sigma \left( 2 \right),\sigma \left( 3 \right) \]

    produsul lor va fi intotdeauna 6. Deci am rezolvat-o cu numitorul.

    Pentru numarator, eu am scris toate cele 6 permutari din S_3 si am calculat acea suma de produse. Se observa ca in toate cazurile, suma este 11. O demonstratie mai normala ar fi aceea ca suma data este formata din toate combinatiile de valori pe care le poate lua

        \[ \sigma \left( 1 \right),\sigma \left( 2 \right),\sigma \left( 3 \right) \]

    dar nu cred ca acea verificare „by hand” a sumei ar fi gresita.

    Acum, avem asa

        \[ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} = x_1 + x_2 + x_3 + \frac{{\sigma \left( 2 \right)\sigma \left( 3 \right) + \sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 3 \right) + \sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 3 \right)}}{{\sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 2 \right)\sigma \left( 3 \right)}} = S. \\ \sigma \left( 2 \right)\sigma \left( 3 \right) + \sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 3 \right) + \sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 3 \right) = 11 \\ \sigma \left( 1 \right)\sigma \left( 2 \right)\sigma \left( 3 \right) = 6 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow S = x_1 + x_2 + x_3 + \frac{{11}}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ \\ x_1 + x_2 + x_3 = k < 6 \Rightarrow \left( 1 \right) \Rightarrow S = k + \frac{{11}}{6} = \frac{{6k + 11}}{6} \\ \end{array} \]

    Se observa ca daca urmatoarea inegalitate este adevarata:

        \[ \frac{{6k + 11}}{6} < \frac{5}{3} \]

    problema s-a incheiat.

    Numai ca acest lucru nu se intampla si nu am idee de ce. Mai exact: este de vina metoda prin care am ales sa demonstrez inegalitatea sau modul in care am facut-o.

    Poate ma lumineaza si pe mine cineva.

    Multumesc.

    • 0
  2. Felicia_b
    user (0)

    😕 in problema sigma este indicele lui x … x_sigma(1) ,x_sigma(2) ci nu doar sigma (1) sau sigma (2)

    • 0
  4. xor_NTG
    maestru (V)

    Da, se pare ca trebuie sa fiu mai 😯 😯

    • 0
  5. Zeus
    veteran (III)

    2. Permutarea care are elementele in ordine descrescatoare adica….
    (1 2 3 … n : n n-1 n-2… 2 1)

    • 0
  6. Zeus
    veteran (III)

    Ce e la 3) ce ai vrut sa scrii…. ca nu se intelege nimic. Ori scrii cerinta in latex ori scrii in cuvinte tot! (fara alte prostii) asta daca vrei sa-ti rezolve cineva ex.

    • 0
Raspunde

Raspunde