Home/ Intrebari/Q 78210
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

rozy
Pe: 2012-10-05T09:39:51+03:00 In: In:

inegaliatea numerelor

trebuie sa se demonstreze ca:

ab/(a+b)+bc/(b+c)+ca/(c+a) mai mic sau egal cu a+b+c/2

Similare

7 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Fie ; a+b=m, b+c=n , c+a=p-> a=(m-n+p)/2 , b=(m+n-p)/2 , c=
    (-m+n+p)/2 , a.b/(a+b)=(1/4).(m^2 – (n-p)^2)/m=(1/4),(m – (n-p)^2/m) , b.c/(b+c)=(1/4).(n-(p-m)^2/n) , c.a/(c+a)=(1/4).(p-(m-n)^2/p)
    Deci ; ab/(a+b) + b.c/(b+c) + c.a/(c+a)=(1/4).[m+n+p-((m-n)^2/p + (n-p)^2/m + (p-m)^2/n)]<=(m+n+p)/4=(a+b+c)/2

  2. rozy

    DD wrote: Fie ; a+b=m, b+c=n , c+a=p-> a=(m-n+p)/2 , b=(m+n-p)/2 , c=
    (-m+n+p)/2 , a.b/(a+b)=(1/4).(m^2 – (n-p)^2)/m=(1/4),(m – (n-p)^2/m) , b.c/(b+c)=(1/4).(n-(p-m)^2/n) , c.a/(c+a)=(1/4).(p-(m-n)^2/p)
    Deci ; ab/(a+b) + b.c/(b+c) + c.a/(c+a)=(1/4).[m+n+p-((m-n)^2/p + (n-p)^2/m + (p-m)^2/n)]<=(m+n+p)/4=(a+b+c)/2

    Imi poti explica te rog de unde ti-ai dat seama cu cat este egal a ,b si c in functie de m,n si p?

  4. ali
    maestru (V)

    Mai simplu, plecam de la:
    (a+b)^2>=4ab (prima inegalitate) <=> a^2+2ab+b^2>=4ab<=>a^2-2ab+b^2>=0 <=> (a-b)^2>=0 -> adevarat pt orice a,b,din R => prima inegalitate este corecte. …mai departe, rescriem prima inegalitate într-un mod convenabil:
    (a+b)^2>=4ab <=> (a+b)/4 >= ab/(a+b)..
    Procedam la fel pt celelalte inegalităti :
    Suma_ciclica(ab/(a+b)) <= (a+b)/4+(c+b)/4+(a+c)/4 =2(a+b+c)/4 =(a+b+c)/2.
    Aceasta demonstratie este corecta pentru a,b,c din R+.

  5. rozy

    ali wrote: Mai simplu, plecam de la:
    (a+b)^2>=4ab (prima inegalitate) <=> a^2+2ab+b^2>=4ab<=>a^2-2ab+b^2>=0 <=> (a-b)^2>=0 -> adevarat pt orice a,b,din R => prima inegalitate este corecte. …mai departe, rescriem prima inegalitate într-un mod convenabil:
    (a+b)^2>=4ab <=> (a+b)/4 >= ab/(a+b)..
    Procedam la fel pt celelalte inegalităti :
    Suma_ciclica(ab/(a+b)) <= (a+b)/4+(c+b)/4+(a+c)/4 =2(a+b+c)/4 =(a+b+c)/2.
    Aceasta demonstratie este corecta pentru a,b,c din R+.


    imi mai poti explica odata?nu inteleg de unde este (a+b)^2 mai mic sau egal cu 4ab

  6. ali
    maestru (V)

    rozy wrote: imi mai poti explica odata?nu inteleg de unde este (a+b)^2 mai mic sau egal cu 4ab


    Ca sa rezolvi o inegalitate ai mai multe puncte de plecare: fie folosesti o inegalitate clasica gen: CBS, Minkovski, Cebasev… etc… sunt o duzina (dar de obicei, acestea se folosesc pentru probleme mai grele nu si pentru inegalităti din manualele scolare…. ca sunt niste manuale simple)…. fie folosesti inegalitatea mediilor (mai toate problemele cu inegalităti matematice din manual se rezolva folosind aceste inegalitătii simple)…. fie faci calculul direct … aduci la acelasi numitor … fortezi unele notatii cum a făcut dd … sau prelucrezi inegalitatea pana la o aduce la o forma simpla în care poti folosi o inegalitate cunoscuta…..
    Pentru inegalitatea de fata, eu am pornit de la bine cunoscuta inegalitate:
    {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab ti-am si demonstrat-o … apoi am rescriso convenabil… atâta tot…. Daca esti novice în inegalităti iti propun sa începi cu cele mai simple inegalităti mai apoi treci la celelalte 😉

  8. Integrator
    maestru (V)

    rozy wrote: trebuie sa se demonstreze ca:
    ab/(a+b)+bc/(b+c)+ca/(c+a) mai mic sau egal cu a+b+c/2


    Presupun ca este vorba despre numerele reale pozitive a,b,c caci numai in acest caz inegalitatea este adevarata.
    Daca este asa atunci din inegalitatea stiuta a+b \geq 2 \cdot \sqrt{a \cdot b} rezulta pentru numere reale mai mari ca zero \frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{2 \cdot \sqrt{a \cdot b}} care se mai poate scrie \frac{a \cdot b}{a+b} \leq \frac{a \cdot b}{2 \cdot \sqrt{a \cdot b}}=\frac{\sqrt{a \cdot b}}{2} \leq \frac{a+b}{4} ceea ce inseamna ca \frac{a \cdot b}{a+b} \leq \frac{a+b}{4} si deci evident rezulta si ca \frac{b \cdot c}{b+c} \leq \frac{b+c}{4} precum si ca \frac{c \cdot a}{c+a} \leq \frac{c+a}{4}.Adunand aceste trei inegalitati rezulta tocmai inegalitatea din problema.

  9. rozy

    Multumesc mult pentru ajutor.Am reusit sa fac exercitiul..

Raspunde

Raspunde