Home/ Intrebari/Q 78196
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ivushka
Pe: 2012-10-03T18:20:50+03:00 In: In:

inductia

Folosind metoda inductiei matematice sa se demonstreze

1)ptr orice n natural, n>0, (n^7 – n) e divizibl cu 42
2)ptr orice n natural, n>0, (n^13 – n) este divizil cu 13

Similare

3 raspunsuri

  1. ali
    maestru (V)

    1)ptr orice n natural, n>0, (n^7 – n) e divizibl cu 42


    Chinezi asa ar rezolva problema:
    \begin{array}{l} {d_k}:{k^7} - k \vdots 42 \to {\rm{A}} \Rightarrow {d_{k + 1}}:{\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 42 \to {\rm{A}}\\ {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) = 6k + 21{k^2} + 35{k^3} + 35{k^4} + 21{k^5} + 7{k^6} + {k^7} = \\ = d + \underbrace {7k + 21{k^2} + 35{k^3} + 35{k^4} + 21{k^5} + 7{k^6}}_e = \left( {d + e} \right) \vdots 7 \to {\rm{evident}}.\\ {\rm{Trebuie sa demonstram ca }}\left( {d + e} \right) \vdots 6 \Leftrightarrow e \vdots 6 \Leftrightarrow \left( {e \vdots 2 \wedge e \vdots 3} \right).\\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ e = 7k + 21{k^2} + 35{k^3} + 35{k^4} + 21{k^5} + 7{k^6} = 7k\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + k + 1} \right) \vdots 2 \to {\rm{numere consecutive}}\left( {k,k + 1} \right)\\ e \vdots 3 \Leftrightarrow {k^2} + k + 1 \vdots 3 \to {\rm{inductie:}}\,\,{{\rm{d}}_k}{\rm{:}}{k^2} + k + 1 \vdots 3 \to {\rm{A}} \Rightarrow {{\rm{d}}_{k + 1}}{\rm{:}}{\left( {k + 1} \right)^2} + \left( {k + 1} \right) + 1 \vdots 3 \to {\rm{A}}\\ {\left( {k + 1} \right)^2} + \left( {k + 1} \right) + 1 = k\left( {k + 3} \right) + 3 \vdots 3 \to {\rm{evident}} \Rightarrow \\ {\rm{e}} \vdots {\rm{3}} \Rightarrow {\rm{e}} \vdots {\rm{3}} \times {\rm{2}} \Rightarrow \left( {d + e} \right) \vdots 6 \Rightarrow \left( {d + e} \right) \vdots 6 \times 7 = 42 \Rightarrow {d_{k + 1}} \vdots 42 \Rightarrow {d_k}:{k^7} - k \vdots 42 \to {\rm{A}} \end{array}

    –––––––––
    Din păcate…. astăzi am sa fiu chinez 🙁 🙁 🙁

  2. ivushka

    Merci!!

    Am inteles pana la faptul ca „k(k+3)+3 e evident divizibil cu 3”, aici ceva imi scapa, dar am luat intreg termenul k(k+1)(k^2 + k + 1), prin inductie se demonstreaza usor ca e divizibil si cu 3.

    ah, si punctul b) se demonstreaza la fel de usor. si eu credeam ca trebuie sa fie ceva mai subtil decat simpla ridicare a binomului la puterea 13 😮

  4. ali
    maestru (V)

    Am inteles pana la faptul ca „k(k+3)+3 e evident divizibil cu 3”


    Poate nu este 100% corect cum m-am exprimat fiindcă am sărit peste unele aspecte din demonstratie … dacă scriam toată demonstratia ar fi iesit mult mai lunga … 🙁

    dar am luat intreg termenul k(k+1)(k^2 + k + 1), prin inductie se demonstreaza usor ca e divizibil si cu 3.


    Sigur ca se poate si asa .. dar rezulta o demonstratie si mai lunga …. concluzia mea a iesit din ordinea numerelor k din e …. sigur!!! trebuia sa ma exprim mai bine…. 🙁 .. Pana la urma, ma bucur ca ai înteles solutia … :d

    b) se demonstreaza la fel de usor. si eu credeam ca trebuie sa fie ceva mai subtil decat simpla ridicare a binomului la puterea 13 😮


    Nu prea am înteles… dar sunt absolut sigur ca problema se rezolva fără a ridica expresia la puterea 13 altfel nu avea rost…. problema este ca nu îmi dau seama cum se poate face mai subtil cu inductie …. dacă se cerea sa demonstrez pur si simplu (cu orice metoda) … cred ca reuseam sa demonstrezi în 3 sau 4 rânduri …. chiar acum o săptămână am rezolvat pe forum o problema asemănătoare pentru o clasa gimnaziala însă era mult mai concreta… în loc de n erau valori.

Raspunde

Raspunde