Home/ Intrebari/Q 78171
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

giageo
Pe: 2012-10-02T14:56:14+03:00 In: In:

Algebra- Aratati ca urmatoarele numere nu sunt rationala

16) Aratati ca urmatoarele numere nu sunt rationale:

1) radical din 3
2) radical din 5
3) radical din 7
4) 1+radical din 2
5)radical din 2+radical din 3

Am mai vazut aceeasi cerinta intr-o postare din 2009 insa fara raspuns:(
Stiu sigur ca a mai aparut pe site insa nu am gasit-o. Va multumesc pt. ajutor!

Similare

5 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

    Rezolv doar primul ex., deoarece si celelalte se pot face dupa acesta:

    Sa presupunem ca

        \[ \sqrt 3 \]

    e rational.

        \[ \Rightarrow \exists \]

        \[ \frac{a}{b} = \sqrt 3 ;a,b \in N^* \]

    , ceea ce e fals. Deci

        \[ \sqrt 3 \]

    e irational.

  2. ali
    maestru (V)

    Incomplet….

  4. Integrator
    maestru (V)

    1) Din \sqrt3=\frac{a}{b} unde a si b sunt doua numere intregi de acelasi semn rezulta ca a^2=3 \cdot b^2 care se mai poate scrie a^2+b^2=4 \cdot b^2 care are solutiile bine stiute a=\frac{u^2-v^2}{2} , b=u \cdot v , 2b=\frac{u^2+v^2}{2} unde u , v sunt numere intregi impare si prime intre ele (dar nu neaparat prime intre ele) astfel incat a si b sa aiba acelasi semn.Din b=u \cdot v=\frac{u^2+v^2}{4} rezulta ca daca u=2 \cdot m+1 si v=2 \cdot n+1 unde m,n sunt numere intregi atunci rezulta ca 8 \cdot m \cdot n+4 \cdot (m+n)+2=2 \cdot (m^2+n^2)+2 \cdot (m+n)+1 ceea ce este fals intrucat niciodata un numar par nu este egal cu un numar impar.
    Cred ca si in cazurile de la punctele 2),3),4) si 5) se poate rationa la fel.

  5. Integrator
    maestru (V)

    2) Sa presupunem ca \sqrt5=\frac{a}{b} unde a,b sunt numere intregi de acelasi semn atunci putem scrie ca a^2=5 \cdot b^2 adica a^2-b^2=4 \cdot b^2 din a carei rezolvare rezulta o contradictie de acelasi tip ca la punctul 1).
    3) Procedand la fel din a^2=7 \cdot b^2 ajungem la o ecuatie de forma a^2+9 \cdot b^2=16 \cdot b^2 care rezolvand-o duce la o contradictie de acelasi tip ca la punctul 1).
    4) Se demonstreaza mai intai irationalitatea numarului \sqrt2.Presupunem ca \sqrt2=\frac{a}{b} ceea ce inseamna ca a^2=2 \cdot b^2 care se mai scrie a^2=b^2+b^2 si care rezolvand-o duce la o contradictie de acelasi tip ca la punctul 1).Orice numar intreg adunat cu un numar irational este un numar irational si deci 1+\sqrt2 este un numar irational.
    5) Presupunem ca \sqrt2+\sqrt3=q unde q este un numar rational si relatia prin ridicare la patrat devine 5+2 \cdot sqrt2 \cdot sqrt3=q^2 adica \sqrt6=\frac{q^2-5}{2} ceea ce inseamna ca \sqrt6 ar trebui sa fie un numar rational de forma \sqrt6=\frac{a}{b} unde a,b sunt numere intregi de acelasi semn si aceasta relatie o mai putem scrie a^2=6 \cdot b^2 sau inca 4 \cdot a^2+b^2=25 \cdot b^2 care rezovand-o duce la o contradictie de acelasi tip ca la punctul 1).

  6. edy8
    maestru (V)
    Raspuns editat.

    giageo wrote: 16) Aratati ca urmatoarele numere nu sunt rationale:

    1) radical din 3

    \sqrt3 \not\in \mathb{Q};

    Demonstratie

    Presupunem, prin reducere la absurd, ca \sqrt3 \in \mathbb{Q}.

    Fie \frac{a}{b} \in \mathb{Q} astfel incat \sqrt3 = \frac{a}{b}.

    Fara a restrange generalitatea, admitem ca fractia \frac{a}{b} este ireductibila, adica cel mai mare divizor comun al numerelor a si b este 1.
    (*) (\sqrt3)^2 = 3 \Rightarrow (\frac{a}{b})^2 = 3 \Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 3 \Rightarrow a^2 = 3b^2 ~(1) \\ (1) \Rightarrow 3|a^2 \Rightarrow 3|a \Rightarrow ~exista ~a' \in Z ~astfel ~incat ~a = 3a' ~(2) \\ (1), (2) \Rightarrow (3a')^2 = 3b^2 \Rightarrow 9(a')^2 = 3b^2 |_{:3} \Rightarrow 3(a')^2 = b^2 \Rightarrow3|b^2\Rightarrow 3|b\Rightarrow ~exista ~b'\in Z ~astfel ~incat ~b = 3b' ~(3)\\ (2), (3) \Rightarrow 3|a ~si ~3|b ~(**) \\ (*), (**) \Rightarrow ~Contradictie ~! ~Deci, \sqrt3 \not \in \mathb{Q}.

Raspunde

Raspunde