Exercitii grele!!!

Question

diamondminer

Pe: 29 septembrie 20122012-09-29T06:49:05+03:00 2012-09-29T06:49:05+03:00In: MatematicaIn: Clasele V-VIII

Exercitii grele!!!

Ma poate ajuta cineva? Macar directia!

1) Aratati ca numarul 13^n + 7^n – 2 este divizibil cu 9.

2) Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia 3x^2 – 2xy – y=1

13 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

ali · Answer 1 · 2012-09-29T17:44:49+03:00

1) Aratati ca numarul 13^n + 7^n – 2 este divizibil cu 9.

Este o problema „dragută” la acest nivel ….
$\begin{array}{l} d = {13^n} + {7^n} - 2 \vdots 9\\ {13^n} + {7^n} - 2 = {13^n} - 1 + {7^n} - 1 = \left( {13 - 1} \right)\left( {{{13}^{n - 1}} + ... + 1} \right) + \left( {7 - 1} \right)\left( {{7^{n - 1}} + ... + 1} \right)\\ = 12 \times \left( {{{13}^{n - 1}} + ... + 1} \right) + 6 \times \left( {{7^{n - 1}} + ... + 1} \right) \end{array}$
De aici … cred ca te descurci 😀 …..
Nu te baza întotdeauna pe criteriile de divizibilitate …..

Ps:
Se cunoaste aceasta formula: ${a^n} - 1 = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^{n - 1}} + {a^{n - 2}} + ... + 1} \right)$ la nivel de a 7 ?

diamondminer · Answer 2 · 2012-09-30T04:30:13+03:00

ali wrote:

1) Aratati ca numarul 13^n + 7^n – 2 este divizibil cu 9.

Este o problema „dragută” la acest nivel ….
$\begin{array}{l} d = {13^n} + {7^n} - 2 \vdots 9\\ {13^n} + {7^n} - 2 = {13^n} - 1 + {7^n} - 1 = \left( {13 - 1} \right)\left( {{{13}^{n - 1}} + ... + 1} \right) + \left( {7 - 1} \right)\left( {{7^{n - 1}} + ... + 1} \right)\\ = 12 \times \left( {{{13}^{n - 1}} + ... + 1} \right) + 6 \times \left( {{7^{n - 1}} + ... + 1} \right) \end{array}$
De aici … cred ca te descurci 😀 …..
Nu te baza întotdeauna pe criteriile de divizibilitate …..

Ps:
Se cunoaste aceasta formula: ${a^n} - 1 = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^{n - 1}} + {a^{n - 2}} + ... + 1} \right)$ la nivel de a 7 ?

N-am intalnit formula. Dar o notez in caietul meu de teorie. Ambele probleme sunt din Gazeta Matematica.

edy8 · Answer 3 · 2012-09-30T09:53:16+03:00

edy8 maestru (V)

2012-09-30T09:53:16+03:00A raspuns pe 30 septembrie 2012 la 9:53 AM

diamondminer wrote:

2) Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia 3x^2 – 2xy – y=1

$\it{\Large \bl 3x^2-2xy-y = 1 \Rightarrow 3x^2-1 = 2xy+y \Rightarrow 3x^2-1 = y(2x+1) \Rightarrow y = \frac{3x^2-1}{2x+1} (1)\\\;\\y\in Z \overset{(1)}{\Longrightarrow} \frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z\\\;\\Daca numitorul 2x+1 = \pm1 \Rightarrow \frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z\\\;\\Pentru 2x+1 = \pm1 \Rightarrow x\in\{-1, 0\} \overset{(1)}{\Longrightarrow} y\in \{-2, -1\}\\\;\\Am gasit ca perechile (-1, -2), (0, -1), care sunt solutii ale ecuatiei. }$

$\it{\Large \underline{Observatie}}$

$\it{\frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z \Rightarrow, dupa calcule (laborioase), x\in \{-1, 0\}}$

- 0
Raspunde

gunty · Answer 4 · 2012-09-30T13:06:14+03:00

La al 2-lea exercitiu:

$\begin{array}{l} 3x^2 - 2xy - y = 1 \Leftrightarrow 3x^2 + x( - 2y) - (y + 1) = 0 \\ \Delta = ( - 2y)^2 - 4 \cdot 3 \cdot ( - 1)(y + 1) = 4y^2 + 12y + 12 = 2^2 (y^2 + 3y + 3) \\ \end{array}$

Ca x-ul sa fie numar intreg, trebuie ca delta sa fie patrat perfect. Stiind ca 2 la puterea 2 (adica 4) e patrat perfect, trebuie sa gasesti toate y intregi pentru care

$y^2 + 3y + 3$

e patrat perfect.

Adica

$\begin{array}{l} y^2 + 3y + 3 = n^2 ,n \in N \Leftrightarrow \left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4} = n^2 \Leftrightarrow \left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2 - n^2 = - \frac{3}{4} \\ \Leftrightarrow \left( {y + \frac{3}{2} + n} \right)\left( {y + \frac{3}{2} - n} \right) = - \frac{3}{4} \Leftrightarrow (2y + 2n + 3)(2y - 2n + 3) = - 3 \\ \end{array}$

Stiind ca 2y+2n+3 si 2y-2n+3 sunt intregi si (2y+2n+3)(2y-2n+3)=-3, iti iese ca 2y+2n+3 si 2y-2n+3

$\in$

{-3,-2,-1,1,2,3}

Si aici iei toate cazurile(sunt 6) si iti iese ca

$y \in \{ - 2, - 1\}$

De aici e simplu:
1. Daca y=-2 primesti

$\begin{array}{l} 3x^2 + 4x + 1 = 0 \\ x_1 ,x_2 = - \frac{1}{3}, - 1 \\ \end{array}$

Vezi ca dintre x1 si x2 iti ramane -1 care e intreg, deci perechea (x,y)=(-1,-2).

2. Daca y=-1 primesti

$\begin{array}{l} 3x^2 + 2x = 0 \\ x_1 ,x_2 = 0, - \frac{2}{3} \\ \end{array}$

Vezi ca dintre x1 si x2 iti ramane 0 care e intreg, deci perechea (x,y)=(0,-1).

In concluzie, perechile sunt (x,y)={(-1,-2),(0,-1)}.

Integrator · Answer 5 · 2012-09-30T15:52:17+03:00

diamondminer wrote: 2) Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia 3x^2 – 2xy – y=1

Din ecuatie rezulta $y=\frac{3 \cdot x^2-1}{2 \cdot x+1}$ .Numarul intreg $x$ poate fi par sau poate fi impar si deci consideram doua cazuri;
a) Cazul $x=2 \cdot k$ si deci $y=\frac{12 \cdot k^2-1}{4 \cdot k+1}$ de unde rezulta prin impartirea directa ca restul $r=-1-3 \cdot k=0$ , $r=-1-3 \cdot k=4 \cdot k+1$ sau $r=-1-3 \cdot k=-4 \cdot k-1$ si deci rezulta ca doar $k=0$ ceea ce inseamna ca $x=0$ si respectiv $y=-1$
b) Cazul $x=2 \cdot k+1$ se rezolva facand acelasi rationament si astfel se obtine $k=-1$ ceea ce inseamna ca $x=-1$ si respectiv $y=-2$ .

Integrator · Answer 6 · 2012-09-30T16:05:38+03:00

edy8 wrote: [quote=diamondminer]

2) Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia 3x^2 – 2xy – y=1

$\it{\Large \bl 3x^2-2xy-y = 1 \Rightarrow 3x^2-1 = 2xy+y \Rightarrow 3x^2-1 = y(2x+1) \Rightarrow y = \frac{3x^2-1}{2x+1} (1)\\\;\\y\in Z \overset{(1)}{\Longrightarrow} \frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z\\\;\\Daca numitorul 2x+1 = \pm1 \Rightarrow \frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z\\\;\\Pentru 2x+1 = \pm1 \Rightarrow x\in\{-1, 0\} \overset{(1)}{\Longrightarrow} y\in \{-2, -1\}\\\;\\Am gasit ca perechile (-1, -2), (0, -1), care sunt solutii ale ecuatiei. }$

$\it{\Large \underline{Observatie}}$

$\it{\frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z \Rightarrow, dupa calcule (laborioase), x\in \{-1, 0\}}$
Fara suparare,dar din aceasta demonstratie nu rezulta unicitatea solutiilor acelei ecuatii diofantice si nu vad de ce calculele ar fi asa de laborioase daca se rationeaza ca numrul intreg $x$ poate fi un numar par sau impar si facand apoi inlocuirile respective si facand si impartirea directa rezulta foarte usor si la nivelul clasei a VII-a care sunt valorile intregi ale lui $x$ si $y$ , mai ales ca impartirea cu rest se invata inca de la clasa a III-a.Gresesc cumva!Multumesc!

edy8 · Answer 7 · 2012-09-30T19:22:37+03:00

Fara suparare, dar din aceasta demonstratie nu rezulta unicitatea solutiilor acelei ecuatii diofantice, si nu vad de ce calculele ar fi asa de laborioase daca se rationeaza ca numrul intreg …

Eu nu mă supăr !

Aşa cum a fost exprimată solicitarea, am oferit o „direcţie”.

Aveţi deplina libertate să conturaţi rezolvarea.

diamondminer · Answer 8 · 2012-10-01T13:44:06+03:00

Integrator wrote: [quote=edy8][quote=diamondminer]

2) Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia 3x^2 – 2xy – y=1

$\it{\Large \bl 3x^2-2xy-y = 1 \Rightarrow 3x^2-1 = 2xy+y \Rightarrow 3x^2-1 = y(2x+1) \Rightarrow y = \frac{3x^2-1}{2x+1} (1)\\\;\\y\in Z \overset{(1)}{\Longrightarrow} \frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z\\\;\\Daca numitorul 2x+1 = \pm1 \Rightarrow \frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z\\\;\\Pentru 2x+1 = \pm1 \Rightarrow x\in\{-1, 0\} \overset{(1)}{\Longrightarrow} y\in \{-2, -1\}\\\;\\Am gasit ca perechile (-1, -2), (0, -1), care sunt solutii ale ecuatiei. }$

Multumesc mult.

$\it{\Large \underline{Observatie}}$

$\it{\frac{3x^2-1}{2x+1} \in Z \Rightarrow, dupa calcule (laborioase), x\in \{-1, 0\}}$
Fara suparare,dar din aceasta demonstratie nu rezulta unicitatea solutiilor acelei ecuatii diofantice si nu vad de ce calculele ar fi asa de laborioase daca se rationeaza ca numrul intreg $x$ poate fi un numar par sau impar si facand apoi inlocuirile respective si facand si impartirea directa rezulta foarte usor si la nivelul clasei a VII-a care sunt valorile intregi ale lui $x$ si $y$ , mai ales ca impartirea cu rest se invata inca de la clasa a III-a.Gresesc cumva!Multumesc!

MULTUMESC MUUULT!

diamondminer · Answer 9 · 2012-10-01T13:45:36+03:00

edy8 wrote: Fara suparare, dar din aceasta demonstratie nu rezulta unicitatea solutiilor acelei ecuatii diofantice, si nu vad de ce calculele ar fi asa de laborioase daca se rationeaza ca numrul intreg …

Eu nu mă supăr !

Aşa cum a fost exprimată solicitarea, am oferit o „direcţie”.

Aveţi deplina libertate să conturaţi rezolvarea.

MULTUMESC MUUULT!

diamondminer · Answer 10 · 2012-10-07T12:26:57+03:00

[quote=ali]

1) Aratati ca numarul 13^n + 7^n – 2 este divizibil cu 9.

Este o problema „dragută” la acest nivel ….
$\begin{array}{l} d = {13^n} + {7^n} - 2 \vdots 9\\ {13^n} + {7^n} - 2 = {13^n} - 1 + {7^n} - 1 = \left( {13 - 1} \right)\left( {{{13}^{n - 1}} + ... + 1} \right) + \left( {7 - 1} \right)\left( {{7^{n - 1}} + ... + 1} \right)\\ = 12 \times \left( {{{13}^{n - 1}} + ... + 1} \right) + 6 \times \left( {{7^{n - 1}} + ... + 1} \right) \end{array}$
De aici … cred ca te descurci 😀 …..

*** QuickLaTeX cannot compile formula:

	\[\begin{array}{l}
	{\rm{Nu prea ma descurc!!!!}}\\
	{\rm{Am notat parantezele cu x si y si mi - a iesit]
	
	

*** Error message:
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

diamondminer · Answer 11 · 2012-10-07T13:44:56+03:00

diamondminer

2012-10-07T13:44:56+03:00A raspuns pe 7 octombrie 2012 la 1:44 PM

Mi-am adus aminte

${\rm{Daca }}\left\{ \begin{array}{l} d\left| {3(4x + 2y)} \right.\\ d\left| {3*4(4x + 2y)} \right. \end{array} \right\} \Rightarrow d\left| {12(4x + 2y)} \right. - 3(4x + 2y) \Rightarrow d\left| {9\underbrace {(4x + 2y)}_m} \right. \Rightarrow d = M9$

- 0
Raspunde

dennis9091 · Answer 12 · 2012-10-11T17:39:00+03:00

dennis9091 guru (IV)

2012-10-11T17:39:00+03:00A raspuns pe 11 octombrie 2012 la 5:39 PM

din 9(4x+2y) divizibil cu d , nu rezulta neaparat ca d este multiplu de 9.. de ex. d poate fi egal cu 3.. Care este rezolvarea corecta a acestei probleme ? Trebuie aratat ca d este divizibil cu 9 ori ceva ..

- 0
Raspunde

diamondminer · Answer 13 · 2012-10-19T05:54:53+03:00

Integrator wrote: [quote=diamondminer]2) Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia 3x^2 – 2xy – y=1

Din ecuatie rezulta $y=\frac{3 \cdot x^2-1}{2 \cdot x+1}$ .Numarul intreg $x$ poate fi par sau poate fi impar si deci consideram doua cazuri;
a) Cazul $x=2 \cdot k$ si deci $y=\frac{12 \cdot k^2-1}{4 \cdot k+1}$ de unde rezulta prin impartirea directa ca restul $r=-1-3 \cdot k=0$ , $r=-1-3 \cdot k=4 \cdot k+1$ sau $r=-1-3 \cdot k=-4 \cdot k-1$ si deci rezulta ca doar $k=0$ ceea ce inseamna ca $x=0$ si respectiv $y=-1$
b) Cazul $x=2 \cdot k+1$ se rezolva facand acelasi rationament si astfel se obtine $k=-1$ ceea ce inseamna ca $x=-1$ si respectiv $y=-2$ .
.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Exercitii grele!!!

Similare

13 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul