Problema-Sa se demonstreze ca t este natural

Question

guntymaestru (V)

Pe: 26 septembrie 20122012-09-26T13:04:03+03:00 2012-09-26T13:04:03+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Problema-Sa se demonstreze ca t este natural

Fie

$t = \frac{{x + y}}{y};x \in N,y \in N*$

Stiind ca

$t(t - 1) + ty = 2^2 \cdot 503$

, sa se demonstreze ca t este numar natural (nenul).

*Nu sunt sigur ca t chiar trebuie sa fie natural, insa daca gasiti rezolvari pentru t rational, va rog sa o scrieti. Multumesc.

11 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Integrator · Answer 1 · 2012-09-26T15:47:06+03:00

gunty wrote: Fie

$t = \frac{{x + y}}{y};x \in N,y \in N*$

Stiind ca

$t(t - 1) + ty = 2^2 \cdot 503$

, sa se demonstreze ca t este numar natural (nenul).

*Nu sunt sigur ca t chiar trebuie sa fie natural, insa daca gasiti rezolvari pentru t rational, va rog sa o scrieti. Multumesc.

Nu cred ca enuntul problemei este acela si cred ca se cere sa se gaseasca numerele naturale $x,y$ astfel incat $t$ sa fie numar natural si daca este asa atunci din relatia a doua rezulta $y=\frac{2012-t^2+t}{t}$ si deci din prima relatie rezulta $x=\frac{(2012-t^2+t) \cdot (t-1)}{t}$ .Pentru ca $x,y$ sa fie numere naturale care sa respecte conditiile din problema atunci este necesar ca $t=1$ si deci $x=0$ si respectiv $y=2012$ .In cazul in care se vrea ca $t$ sa fie un numar rational atunci $t=\frac{a}{b}$ unde $a \neq 0$ si $b \neq 0$ sunt doua numere intregi atunci se inlocuieste $t$ in expresiile lui $x$ si $y$ dupa care se analizeaza astfel incat $x,y$ sa respecte conditiile din problema.

gunty · Answer 2 · 2012-09-26T15:56:16+03:00

gunty maestru (V)

2012-09-26T15:56:16+03:00A raspuns pe 26 septembrie 2012 la 3:56 PM

Multumesc pentru raspuns.
Mi-ar trebui o demonstratie si pentru cerinta data de mine, daca e posibil.

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 3 · 2012-09-26T16:13:04+03:00

gunty wrote: Multumesc pentru raspuns.
Mi-ar trebui o demonstratie si pentru cerinta data de mine, daca e posibil.

Rog a se citi modificarea postarii mele pentru cazul in care $t$ este un numar rational.Multumesc!

Integrator · Answer 4 · 2012-09-27T04:26:19+03:00

gunty wrote: Fie

$t = \frac{{x + y}}{y};x \in N,y \in N*$

Stiind ca

$t(t - 1) + ty = 2^2 \cdot 503$

, sa se demonstreze ca t este numar natural (nenul).

*Nu sunt sigur ca t chiar trebuie sa fie natural, insa daca gasiti rezolvari pentru t rational, va rog sa o scrieti. Multumesc.

Fara suparare!Enuntul problemei este gresit sau incomplet deoarece din ecuatia $t \cdot (t - 1) + t \cdot y = 2^2 \cdot 503$ care se mai poate scrie $t^2+(y-1) \cdot t-2012=0$ rezulta ca $t$ poate fi orice fel de numar real chiar daca $x \geq 0$ si $y>0$ sunt numere naturale pentru ca natura numarului real $t$ este data de discriminantul $\Delta =(y-1)^2+8048>0$ si deci in concluzie pentru numerele naturale $x \geq 0$ si $y>0$ rezulta ca $t$ poate fi un numar irational sau un numar rational sau un numar intreg sau un numar natural.

gunty · Answer 5 · 2012-09-28T17:36:34+03:00

E posibil, insa e posibil si ca in cazul in care t nu e natural, nici x sa nu fie natural, deci nu e demonstrat contrariul cerintei.
Totusi, va rog ca in cazul in care gasiti, sa dati un exemplu pentru care t nu e natural.
Multumesc pentru raspuns.

Integrator · Answer 6 · 2012-09-29T18:48:56+03:00

gunty wrote: E posibil, insa e posibil si ca in cazul in care t nu e natural, nici x sa nu fie natural, deci nu e demonstrat contrariul cerintei.
Totusi, va rog ca in cazul in care gasiti, sa dati un exemplu pentru care t nu e natural.
Multumesc pentru raspuns.

Fara suparare,dar nu inteleg.Se vrea un exemplu in care $x,y$ nu sunt numere naturale si $t$ sa nu fie numar natural sau se vrea un exemplu in care $x,y$ sunt numere naturale si $t$ sa nu fie numar natural?Din acea ecuatie de gradul II rezulta ca nu pentru orice numere naturale $y$ rezulta ca $t$ ar fi numar natural sau rational.Pentru ca t sa fie un numar natural este necesar ca mai intai $\Delta=(y-1)^2+8048=u^2$ unde $u$ este un numar intreg si apoi mai trebuie ca $t=\frac{-(y-1) \pm u}{2}$ sa fie un numar natural de unde dupa aceea se afla si numarul natural $x$ ,iar daca se vrea ca $t$ sa fie numar rational atunci trebuie numai ca $\Delta=(y-1)^2+8048=\frac{u^2}{v^2}$ unde $u,v$ sunt numere intregi si evident ca nu pentru orice $y$ numar natural si $t$ numar rational exista un numar natural $x$ .Avand in vedere cele spuse eu cred ca enuntul nu este corect nici daca se vrea ca $t$ sa fie un numar rational pentru orice $x,y$ numere naturale unde $y>0$ .

gunty · Answer 7 · 2012-09-30T12:18:58+03:00

Imi pare rau pentru confuzia creata. Enuntul e urmatorul, sper ca acum se intelege:

Fie numerele

$x \in N,y \in N*$

Fie

$t = \frac{{x + y}}{y}$

In cazul in care se indeplineste egalitatea

$t(t - 1) + ty = 2^2 \cdot 503$

, sa se demonstreze ca t va trebui sa fie un numar natural(nenul).

Integrator · Answer 8 · 2012-10-01T14:22:16+03:00

gunty wrote: Imi pare rau pentru confuzia creata. Enuntul e urmatorul, sper ca acum se intelege:

Fie numerele

$x \in N,y \in N*$

Fie

$t = \frac{{x + y}}{y}$

In cazul in care se indeplineste egalitatea

$t(t - 1) + ty = 2^2 \cdot 503$

, sa se demonstreze ca t va trebui sa fie un numar natural(nenul).

Fara suparare,dar nu vad nicio deosebire intre primul enunt si acest enunt.

gunty · Answer 9 · 2012-10-01T18:55:13+03:00

gunty maestru (V)

2012-10-01T18:55:13+03:00A raspuns pe 1 octombrie 2012 la 6:55 PM

Nici nu este vreo deosebire, insa am incercat sa o explic, pentru ca s-a scris ca nu se intelege. In plus, cred ca stiu deja rezolvarea. Daca iese ok, pe maine v-o scriu.

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 10 · 2012-10-03T16:00:15+03:00

gunty wrote: Nici nu este vreo deosebire, insa am incercat sa o explic, pentru ca s-a scris ca nu se intelege. In plus, cred ca stiu deja rezolvarea. Daca iese ok, pe maine v-o scriu.

Astept cu interes rezolvarea problemei avand un asemenea enunt pe care sincer nu-l inteleg.Multumesc mult!

gunty · Answer 11 · 2012-10-07T12:12:54+03:00

Rezolvarea problemei:

Are loc egalitatea:

$\begin{array}{l} t(t - 1) + ty = 2^2 \cdot 503 \\ \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{y} \cdot \frac{x}{y} + x + y = 2012 \Leftrightarrow \frac{{x^2 + xy + xy^2 + y^3 }}{{y^2 }} = 2012 \\ \Leftrightarrow x^2 + xy(y + 1) + y^3 - 2012y^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 + xy(y + 1) + y^2 (y - 2012) = 0 \\ \Delta = y^2 (y + 1)^2 - 4y^2 (y - 2012) = y^2 (y^2 + 2y + 1 - 4y + 8048) = y^2 (y^2 - 2y + 8049) \\ \end{array}$

Deoarece x si y sunt naturale (se spune in enuntul problemei), delta va trebui sa fie patrat perfect. Deoarece

$y^2$

e patrat perfect, trebuie sa cautam y naturali pentru care

$\begin{array}{l} y^2 - 2y + 8049 = n^2 ,n \in N^* \\ \Leftrightarrow (y - 1)^2 - n^2 = - 8048 \Leftrightarrow (y - 1 + n)(y - 1 - n) = - 8048 \\ \Leftrightarrow (y + n - 1)(n + 1 - y) = 2^4 \cdot 503 \\ \end{array}$

Fiindca y+n-1 e nr natural nenul si (y+n-1)(n+1-y)=2^4*503=>n+1-y e nr natural nenul.
De aici se iau cazurile( sunt 10): daca y+n-1=1; daca y+n-1=2; daca y+n-1=4 …si tot asa.
Pana la urma iese ca y (naturali) pot fi: 2012, 1005, 500.

De aici e simplu. Doar se inlocuieste y cu cele trei valori si se calculeaza x-urile naturale pentru fiecare in parte:
1. Daca y=2012 => x=0
2. Daca y=1005 => x=1005
3. Daca y=500 => x=1500

Deci perechile (x,y) naturale sunt: {(0,2012),(1005,1005),(1500,500)}

$t = \frac{{x + y}}{y}$

Pentru prima pereche (x=0, y=2012) iese t=1 (care e natural);
Pentru a doua pereche (x=1005,y=1005) iese t=2 (care e natural);
Pentru a treia pereche (x=1500,y=500) iese t=3 (care e natural).

In concluzie, in cazul in care are loc egalitatea de sus, t va fi un numar natural nenul.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Problema-Sa se demonstreze ca t este natural

Similare

11 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul