Home/ Intrebari/Q 77896
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

brinda
Pe: 2012-09-08T11:21:20+03:00 In: In:

rezolvare triunghi

1. Sa se arate ca daca intr-un triunghi ABC au loc relatiile a+b=2c si sin A+sinB=radical din3, triunghiul este echilateral.

2. Fie ABC un triunghi. Sa se arate ca numerele ctgA/2, ctgB/2, ctgC/2 sunt in progresie aritmetica daca si numai daca a,b,c sunt in progresie aritmetica.

Multumesc!

Similare

11 raspunsuri

  1. xor_NTG
    maestru (V)

    ctgA/2 sa inteleg ca inseamna

        \[ ctg\frac{A}{2}\,\, \]

    sau

        \[ \frac{{ctgA}}{2} \]

    ?

  2. brinda

    prima varianta

  4. Integrator
    maestru (V)

    brinda wrote: 1. Sa se arate ca daca intr-un triunghi ABC au loc relatiile a+b=2c si sin A+sinB=radical din3, triunghiul este echilateral.


    1. Din teorema sinusurilor rezulta imediat ca urmare a unei proprietati a sirului de rapoarte egale ca unghiul \angle C=\frac{\pi}{3} ceea ce inseamna ca \angle A+\angle B=\frac{2 \cdot \pi}{3} de unde rezulta ca \angle A=\frac{2 \cdot \pi}{3}-\angle B.Calculam \sin A=\sin (\frac{2 \cdot \pi}{3}-B) si stiind ca \sin A=\sqrt{3}-\sin B si facand calculele rezulta o ecuatie trigonometrica in \cos B si \sin B care dvine o ecuatie de gradul II in \cos B dupa ce facem inlocuirea \sin B=\sqrt{1-\cos^2 B} de unde rezulta imediat \cos B=\frac{1}{2} ceea ce inseamna ca \angle B=\frac{\pi}{3} si deci \angle A=\frac{\pi}{3} adica triunghiul \Delta ABC este echilateral.

  5. PhantomR
    expert (VI)
  6. Integrator
    maestru (V)

    brinda wrote: 2. Fie ABC un triunghi. Sa se arate ca numerele ctgA/2, ctgB/2, ctgC/2 sunt in progresie aritmetica daca si numai daca a,b,c sunt in progresie aritmetica.


    O idee:
    Ne folosim de faptul ca intr-un triunghi oarecare suma cotangentelor de jumatati de unghiuri este egala cu produsul acelorasi cotangente ale jumatatilor de unghiuri si mai gasim niste relatii scriind ca ctg \frac{B}{2}=ctg \frac{A}{2}+q si ca ctg \frac{C}{2}=ctg \frac{A}{2}+2 \cdot q si eliminand pe q care este ratia progresiei aritmetice atunci rezulta inca o relatie intre acele cotangente.Se stie ca orice cotangenta a unei jumatati de unghi este data de relatia ctg \frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{\sin A} si facand calculele tinand cont si de teorema sinusurilor putem ajunge la concluzia ca si laturile triunghiului respectiv a,b,c sunt in progresie aritmetica.
    ––––––––
    Ma gandesc si la o solutie mai simpla.

  8. DD
    profesor

    Se stie ca;
    ctgA/2=(radical din {(p-a).p/((p-b).(p-c))})
    ctgB/2=(radical din {(p-b).p/((p-c).(p-a))})
    ctgC/2=(radical din {(p-c).p/((p-a).(p-b))}) .

    1]. Sa se arate ca , daca ; 2.ctgB/2=ctgA/2+ctgC/2 , atunci ; 2b=a+c

    2.(radical din {(p-b).p/((p-c).(p-a))})=(radical din {(p-a).p/((p-b).(p-c))})+(radical din {(p-c).p/((p-a).p-b))}) , sau ;simplificand termenii expresiei cu; { p/((p-a).(p-b).(p-c) } vom avea;

    2(p-b)=(p-a)+(p-c) ->2.b=a+c.

    2]. Acum , sa se arate ca , daca 2b=a+c atunci ctgA/2+ctgC/2=2.ctgB/2

    Se parcurge demonstratia de mai sus . invers.

  9. Integrator
    maestru (V)

    DD wrote: Se stie ca;
    ctgA/2=(radical din {(p-a).p/((p-b).(p-c))})
    ctgB/2=(radical din {(p-b).p/((p-c).(p-a))})
    ctgC/2=(radical din {(p-c).p/((p-a).(p-b))}) .

    1]. Sa se arate ca , daca ; 2.ctgB/2=ctgA/2+ctgC/2 , atunci ; 2b=a+c

    2.(radical din {(p-b).p/((p-c).(p-a))})=(radical din {(p-a).p/((p-b).(p-c))})+(radical din {(p-c).p/((p-a).p-b))}) , sau ;simplificand termenii expresiei cu; { p/((p-a).(p-b).(p-c) } vom avea;

    2(p-b)=(p-a)+(p-c) ->2.b=a+c.

    2]. Acum , sa se arate ca , daca 2b=a+c atunci ctgA/2+ctgC/2=2.ctgB/2

    Se parcurge demonstratia de mai sus . invers.


    Excelenta rezolvare!Eu m-am complicat.Multumesc mult!E greu sa urmaresc niste calcule matematice atunci cand nu se scrie cu TeX mai ales ca neputand previzualiza se pot strecura greseli poate nedorite.Multumesc!

  10. brinda

    Multumesc, m-am descurcat.

  12. PhantomR
    expert (VI)

    Integrator wrote: !E greu sa urmaresc niste calcule matematice atunci cand nu se scrie cu TeX mai ales ca neputand previzualiza se pot strecura greseli poate nedorite

  13. Integrator
    maestru (V)

    PhantomR wrote:
    De ce nu puteti previzualiza? Exită un buton „Previzualizează” în stânga lui „Trimite”.


    Cunosc acest buton si il folosesc tot timpul cand scriu calcule matematice.Eu scriind cu TeX inainte de a trimite fac previzualizarea si de fapt ma refeream la cei care scriind fara TeX calcule matematice este greu pentru mine sa urmaresc ceea ce a rationat si totodata cred ca este greu si celui care scrie fara TeX sa verifice daca nu cumva s-a strecurat vreo greseala in mesajul sau.

  14. edy8
    maestru (V)

    brinda wrote: 1. Sa se arate ca daca intr-un triunghi ABC au loc relatiile a+b=2c si sin A+sinB=radical din3, triunghiul este echilateral.

    \it{ {S=\frac{1}{2}bc sinA\Rightarrow sinA=\frac{2S}{bc}\\\;\\S=\frac{1}{2}ac sinB \Rightarrow sinB=\frac{2S}{ac}} \}\Rightarrow sinA+sinB=\frac{2S}{c}(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})=\frac{2S}{c}\cdot \frac{a+b}{ab} (1)\\\;\\a+b=2c (2)\\\;\\sinA+sinB=\sqrt3 (3)\\\;\\(1), (2), (3)\Rightarrow \sqrt3 = \frac{2S}{c}\cdot \frac{2c}{ab}\Rightarrow S = \frac{ab \sqrt3}{4} (4)\\\;\\S = \frac{ab sin C}{2} (5)\\\;\\(4), (5) \Rightarrow sinC = \frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow C=60^0 (6)\\\;\\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \overset{(6),(2)}{\Longrightarrow } \frac{1}{2}= \frac{a^2+b^2-(\frac{a+b}{2})^2}{2ab}\Rightarrow a=b (7)\\\;\\(6), (7) \Rightarrow ABC- echilateral.\bl}

Raspunde

Raspunde