Home/ Intrebari/Q 77853
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Mezudkl
user (0)
Pe: 2012-09-03T07:58:21+03:00 In: In:

Valoarea minima

Sa se calculeze valoarea minima pentru functia:

f:R->R f(x)=sqrt(4x^2 +28x +85) + sqrt(4x^2 -28x+113)

Similare

12 raspunsuri

  1. GreatMath
    veteran (III)

    \begin{array}{l} 4{x^2} + 28x + 85 = {\left( {2x + 7} \right)^2} + 36 \Rightarrow \sqrt {4{x^2} + 28x + 85} = \sqrt {{{\left( {2x + 7} \right)}^2} + 36} \ge \sqrt {36} = 6\\ 4{x^2} - 28x + 113 = {\left( {2x - 7} \right)^2} + 64 \Rightarrow \sqrt {4{x^2} - 28x + 113} = \sqrt {{{\left( {2x - 7} \right)}^2} + 64} \ge \sqrt {64} = 8\\ f\left( x \right) \ge 14 \end{array}
    Am verificat solutia cu un program de matematica însă rezultatul este altfel :\min \left\{ {f\left( x \right)} \right\} = 14\sqrt 2
    Ati studiat la scoală derivate ?

    • 0
  2. Mezudkl
    user (0)

    Da , am studiat. Cu derivate se face nu ? Mi-era prea lene sa derivez si am zis ca poate este o solutie mai usoara.

    Si da , raspunsul este 14sqrt2

    • 0
  4. GreatMath
    veteran (III)

    Ma gândeam ca nu ai făcut la scoală derivate … solutia prezentata de mine este una de nivelul clasei a 9 …. una aproximativa si corecta însă nu precisa …. putem spune clar ca f(x)>=14 însă 14 nu este valoarea minima 😀 … Valoarea minima exacta se determina cu derivate … încerci ?

    edit: ma gândesc în continuare la o solutie fără derivate … sa vad dacă ajung undeva …. voi posta îndată eventualele progrese 😀

    • 0
  5. Mezudkl
    user (0)

    Na , si daca derivez imi da :
    f'(x)=8x+28/2sqrt(4x^2+28x+85) + 8x-28/(2sqrt(4x^2-28x+113))
    =>f'(x)=0 <=> 8x+28=0 si 8x-28=0

    Nu ?

    • 0
  6. DD
    profesor

    Functia se poate scrie si;

    f(x)=(radical din [(2.x+7)^2+6^2]) + (radical din [(2.x-7)^2+8^2]) Conf. inegalitatii lui Minkovski avem ca ;f(x)>=(radical din [((2.x+7)-(2.x-7))^2+
    (6-8)^2])=(radical din [14^2+2^2])=(radical din (196+4))=10.(radical din 2)
    Inegalitatea lui Minkowskieste ;(radical din [(a1)^2 + (a2)^2] + (radical din [(b1)^2 + (b2)^2])>=(radical din [(a1 – b1)^2 + (a2 – b2)^2].
    In cazul dat ; a1=2.x+7 , a2=6 , b1=2.x-7 , b2=8

    • 0
  8. Mezudkl
    user (0)

    Tie ti-a dat 10radical din 2 si raspunsul corect e 14 radical din 2.

    Nici nu stiam formula respectiva.

    • 0
  9. DD
    profesor

    Cu parere de rau . Cred ca nu am gresit
    Cauta aceasta inegalitate , detifica si tu termenii si convinge-te .

    • 0
  10. GreatMath
    veteran (III)

    \begin{array}{l} \sqrt {{{\left( {2x + 7} \right)}^2} + {6^2}} + \sqrt {{{\left( {2x - 7} \right)}^2} + {8^2}} \\ {\rm{Inegalitate dedusa din Minkovski:}}\\ \sqrt {{a^2} + {y^2}} + \sqrt {{b^2} + {z^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \\ \sqrt {{{\left( {2x + 7} \right)}^2} + {6^2}} + \sqrt {{{\left( {2x - 7} \right)}^2} + {8^2}} \ge \sqrt {{{\left[ {2x + 7 - \left( {2x - 7} \right)} \right]}^2} + {{\left( {6 + 8} \right)}^2}} = \sqrt {{{14}^2} + {{14}^2}} = 14\sqrt 2 \end{array}
    Acum trebuie sa demonstram acea inegalitate :
    \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + {y^2}} + \sqrt {{b^2} + {z^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \,\,\,\,\left| {\left( { \uparrow 2} \right)} \right.\\ {a^2} + {y^2} + {b^2} + {z^2} + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {y^2}} \right)\left( {{b^2} + {z^2}} \right)} \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {y + z} \right)^2} \Rightarrow \\ \sqrt {\left( {{a^2} + {y^2}} \right)\left( {{b^2} + {z^2}} \right)} \ge yz - ab\,\,\,\left( { \uparrow 2} \right) \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {y^2}} \right)\left( {{b^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {yz - ab} \right)^2}\\ a{z^2} + b{y^2} \ge - 2yzab \to {\left( {az + by} \right)^2} \ge 0 \end{array}
    Cam asta e tot …..

    • 0
  12. Mezudkl
    user (0)

    Problema e din admiterea la upb , si acolo e 14 radical din 2.
    Oricum , cum incepe scola intreb pe profa de mate.

    Multumesc.

    • 0
  13. GreatMath
    veteran (III)

    Nici nu stiam formula respectiva


    Problemele de acest gen se rezolva fi folosind proprietatea radicalilor:
    \sqrt a + \sqrt b \ge \sqrt {a + b}
    Fie folosind un truc ca cel de sus (primul scris de mine) …
    Fie folosind Minkovski si nu în ultimul rând derivate (cea din urma …. însă foarte putin folosita) …. tine minte aceste aspecte …..
    Inegalitatea lui Minkovski se studiază în a 9 … sunt foarte multi elevi de a 7 si a 8 (olimpici si nu numai) care o stiu/folosesc 😀

    • 0
  14. Zeus
    veteran (III)

    \rm{f'(x)=\frac{8*x+28}{2*sqrt{4*x^2+28*x+85}}+\frac{8*x-28}{2*sqrt{4*x^2-28*x+113}}=0.\\ Dupa prelucrari ajungem la (2*x+7)*sqrt{4*x^2-28*x+113}=(7-2*x)*sqrt{4*x^2+28*x+85}.\\ Notam a=2*x+7 si b=2*x-7 si ridicam la patrat\\ =>a^2*(b^2+64)=b^2*(a^2+36)=>16*a^2=9*b^2\\ Inlocuim si ne da x_1=\frac{-1}{2} si x_2=\frac{-49}{2}. x_1 da minimul expresiei.\\ Se inlocuieste in functie si da 14*sqrt{2}

    • 0
  16. DD
    profesor

    Mai este posibil ca a2=6 si b2=(-8) si atunci iese;
    f(x)>=(radical din [((2.x+7)-(2.x-7))^2+(6-(-8))^2]=14.(radical din 2).
    Sa vezi dece trebue sa fie f(x)>=14.(radical din 2)
    Fie ; f(x)>=10.(radical din 2), ridicam la patrat si avem ; (2.x+7)^2+36+
    (2.x-7)^2+64+2.(radical din [((2.x-7)^2+64).((2.x+7)^2+36)]>=200 sau ;8.x^2+2.49+100+2.(radical din [4.x^2-28.x+113).(4.x^2+28.x +85)]>=200, sau ;8x^2 + 2.(radical din (4.x^2-28.x+113).(4.x^2+28.x+85)]>=2.Rezolvam ec . f(x)=10.(radical din 2) si nu vom avea solutii reale si ar trebui sa fie.
    Pentru ec. f(x)=14(radical din 2) vom avea so;utii reale si duble si deci ceasta-i valoarea minima a lu f(x)

    • 0
Raspunde

Raspunde