Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login


Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Please briefly explain why you feel this question should be reported.

Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.

Motivul pentru care raportezi utilizatorul.

LoginInregistrare

AniDeȘcoală.ro

AniDeȘcoală.ro Logo AniDeȘcoală.ro Logo

AniDeȘcoală.ro Navigation

  • TEME
  • FUN
  • SCOALA
  • DEX
  • PARENTING
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • HOME
  • TEME
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • FUN
    • Povești pentru copii
      • Povesti nemuritoare
      • Povesti scurte cu talc
      • Alexandru Mitru
      • Anton Pann
      • Calin Gruia
      • Constanta Nitescu
      • Dumitru Almas
      • Elia David
      • Emil Garleanu
      • Grigore Alexandrescu
      • Ion Creanga
      • Ion Luca Caragiale
      • Marcela Penes
      • Marin Sorescu
      • Petre Ispirescu
      • Victor Eftimiu
      • Alti autori romani
      • Autori straini
        • Antoine de Saint Exupery
        • Charles Perrault
        • Edmondo de Amicis
        • Erika Scheuering
        • Esop
        • Felix Salten
        • Fraţii Grimm
        • Hans Christian Andersen
        • Jean de la Fontaine
        • Johanna Spyri
        • Lev Nicolaevici Tolstoi
        • Rudyard Kipling
        • Virginia Waters
        • Alti autori straini
    • Poezii
      • Grigore Vieru
      • Elena Farago
      • George Toparceanu
      • George Cosbuc
      • Mihai Eminescu
      • Nicolae Labis
      • Otilia Cazimir
      • Tudor Arghezi
      • Vasile Alecsandri
      • Alti autori
    • Stiati ca...
      • Romania
      • Sistemul solar
      • Plante
      • Animale
      • Superlative geografice
      • Altele
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
    • Teste de cultura generala
    • Teste de personalitate
    • Probleme distractive
    • Activitati educative
    • Sfaturi practice
    • Planșe de colorat
    • Jocuri in aer liber
    • Abilitati practice
    • Jocuri distractive
    • Cantece pentru copii
    • Codul bunelor maniere
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Gramatica
      • Stii sa scrii ?!
      • Părți de propoziție
      • Părți de vorbire
      • Cazurile
      • Sintaxa
      • Diverse
    • Limba romana
      • Bacalaureat
      • Abecedar
    • Cultura generala
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • DEX
  • PARENTING
  • PUNCTE SI RANGURI
  • FAQ
  • CONTACT
Home/ Intrebari/Q 77802
Urmator
In Process
xor_NTG
xor_NTGmaestru (V)
Pe: 29 august 20122012-08-29T16:10:25+03:00 2012-08-29T16:10:25+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Limita de sir cu radicali

Am de calculat urmatoarea limita:

    \[ 	 {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n  \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}}}{n},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in N*\,fixat 	\]

Am incercat sa rezolv aceasta limita prin doua metode:

Metoda 1: Aducerea radicalilor la acelasi ordin, mai exact 2^k si apoi efectuarea calculelor ce apar.

    \[ 	\begin{array}{l} 	 \sqrt n  = \sqrt[2]{n} = \sqrt[{2^{k - 1}  \cdot 2}]{{n^{2^{k - 1} } }} \\ 	 \sqrt[4]{n} = \sqrt[{2^2 }]{n} = \sqrt[{2^2  \cdot 2^{k - 2} }]{{n^{2^{k - 2} } }} \\ 	 ............................... \\ 	 \sqrt[{2^{k - 1} }]{n} = \sqrt[{2^{k - 1}  \cdot 2}]{{n^2 }} = \sqrt[{2^k }]{{n^2 }} \\ 	 \end{array} 	\]

Acum revenim in expresie:

    \[ 	\begin{array}{l} 	  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1} } }}\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 2} } }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 3} } }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\sqrt[{2^k }]{n}\,\,\,}}{n} \\ 	  \\ 	  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1} }  \cdot n^{2^{k - 2} }  \cdot n^{2^{k - 3} }  \cdot ... \cdot n^{2^{k - k} } }}}}{n} =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1}  + 2^{k - 2}  + 2^{k - 3}  + ... + 2^{k - k} } }}}}{n} =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^k \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)} }}}}{n} =  \\ 	  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)^{2^k } } }}}}{n} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)} }}{n} \\ 	 \end{array} 	\]

Si aici m-am oprit pentru ca simteam ca ajung nicaieri. Nu stiu formula acelei sume (spre rusinea mea) si nici nu am alta idee de calculare decat inductia…care si ea pune probleme (la gasirea formulei acestei sume).

Acum metoda a 2-a: logaritmarea expresiei si efectuarea calculelor ce apar:

O sa iau ca baza numarul e:

    \[ 	\begin{array}{l} 	  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\frac{{\sqrt n  \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}}}{n}} \right) = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\sqrt n  \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}} \right) - \ln n =  \\ 	  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \sqrt n  + \ln \sqrt[4]{n} + \ln \sqrt[8]{n} + ... + \ln \sqrt[{2^k }]{n} - \ln n =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{2}\ln n + \frac{1}{4}\ln n + \frac{1}{8}\ln n + ... + \frac{1}{{2^k }}\ln n - \ln n =  \\ 	  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right) - \ln n = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left[ {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right) - 1} \right] \\ 	 \end{array} 	\]

Aici iar m-am blocat. Nu pot lua limita din acea paranteza rotunda (cred) pentru ca acel k este fixat, deci nu cred ca poate tinde la o valoare. E posibil ca formula acele sume sa fie de fapt rezolvarea problemei.

Astept opinii/considerente/idei. Multumesc.

  • 0
  • 77
  • 0
  • Share
    • Share peFacebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Similare

  • Un elev rupe fila unei cărți de ...
  • Observa covorasele matematice formate din exerciții scrise ...
  • Un elev are o suma de bani. ...
  • Știe cineva? Cl 10
  • Bună! Îmi poate explica cineva cum s-a ...
  • Vă rog ajutați mă

7 raspunsuri

  1. GreatMath veteran (III)
    2012-08-29T18:40:39+03:00A raspuns pe 29 august 2012 la 6:40 PM

    Ideea ta de rezolvare pare drăgută … dacă te referi la suma asta :
    S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 - \frac{1}{{{2^n}}}}}{{1 - \frac{1}{2}}}} \right) = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}
    Vezi dacă ajungi la vreun rezultat cu aceasta indicatie dacă nu…. voi posta o alternativa!

    • 0
    • Raspunde
  2. DD profesor
    2012-08-29T19:01:33+03:00A raspuns pe 29 august 2012 la 7:01 PM

    Ultima idee este f. buna. Deci lim(n->infinit) din [{n^(1/2+1/4+1/8+…+1/2^k)}/n]=lim(n->infinit) din [{n^(S-1)] ,unde ; S=(1/2).[{(1/2)^(k+1)-1)}/(1/2-1)]=(1/2).[1-(1/2)^(k+1)]/(1/2)=1-
    (1/2)^(k+1) si S-1=-(1/2)^(k+1). de unde lim(n->infinit) din [n^(S-1)]=lim(n->infinit) din [n^(-(1/2)^(k+1)]=lim(n->infinit) din [(1/(radical din n))^(k+1)]->0 , k este un numar dat, considerat cunoscut

    • 0
    • Raspunde
  3. xor_NTG maestru (V)
    2012-08-29T19:06:35+03:00A raspuns pe 29 august 2012 la 7:06 PM

    Da, am inlocuit formula sumei in ultima mea relatie si cred ca am gasit o rezolvare:

        \[ 	\begin{array}{l} 	  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left[ {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right) - 1} \right] =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left( {1 - \frac{1}{{2^k }} - 1} \right) =  \\ 	  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left( { - \frac{1}{{2^k }}} \right) =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {n^{ - \frac{1}{{2^k }}} } \right) =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\frac{1}{{n^{\frac{1}{{2^k }}} }}} \right) = \ln \left( { {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n^{\frac{1}{{2^k }}} }}} \right) = \ln 1 = 0 \\ 	 \end{array} 	\]

    • 0
    • Raspunde
  4. xor_NTG maestru (V)
    2012-08-29T19:07:54+03:00A raspuns pe 29 august 2012 la 7:07 PM

    E corect? As vrea sa vad si rezolvarea ta. Multumesc.

    • 0
    • Raspunde
  5. Bogdan Stanoiu maestru (V)
    2012-08-30T05:17:40+03:00A raspuns pe 30 august 2012 la 5:17 AM

    xor_NTG wrote: Am de calculat urmatoarea limita:

        \[ 	 {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n  \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}}}{n},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in N*\,fixat 	\]

    Am incercat sa rezolv aceasta limita prin doua metode:

    Metoda 1: Aducerea radicalilor la acelasi ordin, mai exact 2^k si apoi efectuarea calculelor ce apar.

        \[ 	\begin{array}{l} 	 \sqrt n  = \sqrt[2]{n} = \sqrt[{2^{k - 1}  \cdot 2}]{{n^{2^{k - 1} } }} \\ 	 \sqrt[4]{n} = \sqrt[{2^2 }]{n} = \sqrt[{2^2  \cdot 2^{k - 2} }]{{n^{2^{k - 2} } }} \\ 	 ............................... \\ 	 \sqrt[{2^{k - 1} }]{n} = \sqrt[{2^{k - 1}  \cdot 2}]{{n^2 }} = \sqrt[{2^k }]{{n^2 }} \\ 	 \end{array} 	\]

    Acum revenim in expresie:

        \[ 	\begin{array}{l} 	  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1} } }}\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 2} } }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 3} } }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\sqrt[{2^k }]{n}\,\,\,}}{n} \\ 	  \\ 	  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1} }  \cdot n^{2^{k - 2} }  \cdot n^{2^{k - 3} }  \cdot ... \cdot n^{2^{k - k} } }}}}{n} =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1}  + 2^{k - 2}  + 2^{k - 3}  + ... + 2^{k - k} } }}}}{n} =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^k \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)} }}}}{n} =  \\ 	  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)^{2^k } } }}}}{n} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)} }}{n} \\ 	 \end{array} 	\]

    Si aici m-am oprit pentru ca simteam ca ajung nicaieri. Nu stiu formula acelei sume (spre rusinea mea) si nici nu am alta idee de calculare decat inductia…care si ea pune probleme (la gasirea formulei acestei sume).

    Acum metoda a 2-a: logaritmarea expresiei si efectuarea calculelor ce apar:

    O sa iau ca baza numarul e:

        \[ 	\begin{array}{l} 	  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\frac{{\sqrt n  \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}}}{n}} \right) = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\sqrt n  \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}} \right) - \ln n =  \\ 	  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \sqrt n  + \ln \sqrt[4]{n} + \ln \sqrt[8]{n} + ... + \ln \sqrt[{2^k }]{n} - \ln n =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{2}\ln n + \frac{1}{4}\ln n + \frac{1}{8}\ln n + ... + \frac{1}{{2^k }}\ln n - \ln n =  \\ 	  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right) - \ln n = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left[ {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right) - 1} \right] \\ 	 \end{array} 	\]

    Aici iar m-am blocat. Nu pot lua limita din acea paranteza rotunda (cred) pentru ca acel k este fixat, deci nu cred ca poate tinde la o valoare. E posibil ca formula acele sume sa fie de fapt rezolvarea problemei.

    Astept opinii/considerente/idei. Multumesc.


    Pentru orice k natural nenul avem ca
    (1/2)^1+(1/2)^2+…+(1/2)^k=1-(1/2)^k<1
    Deci x(n)=n^(-(1/2)^k) si deci limita este egala cu 0 (k este fixat)
    Ar fi mai interesant de calculat limita daca in formula generala a temenilor sirului din enunt in loc de k punem n. In acest caz limita ar fi egala cu 1.
    Incearca sa vezi de ce….

    • 0
    • Raspunde
  6. xor_NTG maestru (V)
    2012-08-30T10:08:21+03:00A raspuns pe 30 august 2012 la 10:08 AM

    Da, acum am inteles. Deci prima metoda este solutia.

        \[ 	 {\lim }\limits_{n \to \infty } n^{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n }  =  {\lim }\limits_{n \to \infty } n^0  = 1 	\]

    cred ca la asta va referiti.

    • 0
    • Raspunde
  7. Akiba1975 user (0)
    2012-09-04T09:42:39+03:00A raspuns pe 4 septembrie 2012 la 9:42 AM

    n^(1/2+1/4+1/8+…+1/(2^k))/n=n^{1/2*[1-(1/2)^k)/(1-1/2)]}/n=

    n^[1-(1/2)^k]/n=n^[-(1/2)^k]

    Deci limita cand n tinde la infinit da 0 barat.

    • 0
    • Raspunde
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul


Sidebar

PUNE O INTREBARE
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • FUN
    • Povești pentru copii
    • Povesti scurte cu talc
    • Povesti nemuritoare
    • Poezii
    • Stiati ca...
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Stii sa scrii ?!
    • Comentarii si rezumate
    • Cultura generala

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori. Pune intrebari si primeste raspunsuri de la profesori si utilizatori experimentati. Transmite sugestii, povesti, articole etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  • Termeni și condiţii
  • Contact

Proiecte

  • Parenting
  • Dictionar explicativ
  • Matematica
  • Gramatica limbii romane
  • Trafic

Statistici

  • Intrebari : 30.738
  • Raspunsuri : 69.948
  • Best Answers : 394
  • Articole : 5.225
  • Comentarii : 15.422

Inserează/editează legătura

Introdu URL-ul de destinație

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.