Am de calculat urmatoarea limita:
![\[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}}}{n},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in N*\,fixat \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca90bad6e911040ec1b464ef4c34900d_l3.png "formula matematica")
Am incercat sa rezolv aceasta limita prin doua metode:
Metoda 1: Aducerea radicalilor la acelasi ordin, mai exact 
si apoi efectuarea calculelor ce apar.
![\[ \begin{array}{l} \sqrt n = \sqrt[2]{n} = \sqrt[{2^{k - 1} \cdot 2}]{{n^{2^{k - 1} } }} \\ \sqrt[4]{n} = \sqrt[{2^2 }]{n} = \sqrt[{2^2 \cdot 2^{k - 2} }]{{n^{2^{k - 2} } }} \\ ............................... \\ \sqrt[{2^{k - 1} }]{n} = \sqrt[{2^{k - 1} \cdot 2}]{{n^2 }} = \sqrt[{2^k }]{{n^2 }} \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38a40b313713b2608531cf6a68b18b7a_l3.png "formula matematica")
Acum revenim in expresie:
![\[ \begin{array}{l} {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1} } }}\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 2} } }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 3} } }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\sqrt[{2^k }]{n}\,\,\,}}{n} \\ \\ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1} } \cdot n^{2^{k - 2} } \cdot n^{2^{k - 3} } \cdot ... \cdot n^{2^{k - k} } }}}}{n} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^{k - 1} + 2^{k - 2} + 2^{k - 3} + ... + 2^{k - k} } }}}}{n} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{2^k \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)} }}}}{n} = \\ = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[{2^k }]{{n^{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)^{2^k } } }}}}{n} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right)} }}{n} \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a52aaef789390ba57550ceccb9249b1_l3.png "formula matematica")
Si aici m-am oprit pentru ca simteam ca ajung nicaieri. Nu stiu formula acelei sume (spre rusinea mea) si nici nu am alta idee de calculare decat inductia…care si ea pune probleme (la gasirea formulei acestei sume).
Acum metoda a 2-a: logaritmarea expresiei si efectuarea calculelor ce apar:
O sa iau ca baza numarul e:
![\[ \begin{array}{l} {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\frac{{\sqrt n \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}}}{n}} \right) = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\sqrt n \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[8]{n} \cdot ... \cdot \sqrt[{2^k }]{n}} \right) - \ln n = \\ = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \sqrt n + \ln \sqrt[4]{n} + \ln \sqrt[8]{n} + ... + \ln \sqrt[{2^k }]{n} - \ln n = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{2}\ln n + \frac{1}{4}\ln n + \frac{1}{8}\ln n + ... + \frac{1}{{2^k }}\ln n - \ln n = \\ = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right) - \ln n = {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln n\left[ {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{2^k }}} \right) - 1} \right] \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f41d99174a47ebd5bed2dd8aeb17598_l3.png "formula matematica")
Aici iar m-am blocat. Nu pot lua limita din acea paranteza rotunda (cred) pentru ca acel k este fixat, deci nu cred ca poate tinde la o valoare. E posibil ca formula acele sume sa fie de fapt rezolvarea problemei.
Astept opinii/considerente/idei. Multumesc.
Ideea ta de rezolvare pare drăgută … dacă te referi la suma asta :
Vezi dacă ajungi la vreun rezultat cu aceasta indicatie dacă nu…. voi posta o alternativa!
Ultima idee este f. buna. Deci lim(n->infinit) din [{n^(1/2+1/4+1/8+…+1/2^k)}/n]=lim(n->infinit) din [{n^(S-1)] ,unde ; S=(1/2).[{(1/2)^(k+1)-1)}/(1/2-1)]=(1/2).[1-(1/2)^(k+1)]/(1/2)=1-
(1/2)^(k+1) si S-1=-(1/2)^(k+1). de unde lim(n->infinit) din [n^(S-1)]=lim(n->infinit) din [n^(-(1/2)^(k+1)]=lim(n->infinit) din [(1/(radical din n))^(k+1)]->0 , k este un numar dat, considerat cunoscut
Da, am inlocuit formula sumei in ultima mea relatie si cred ca am gasit o rezolvare:
E corect? As vrea sa vad si rezolvarea ta. Multumesc.
Pentru orice k natural nenul avem ca
(1/2)^1+(1/2)^2+…+(1/2)^k=1-(1/2)^k<1
Deci x(n)=n^(-(1/2)^k) si deci limita este egala cu 0 (k este fixat)
Ar fi mai interesant de calculat limita daca in formula generala a temenilor sirului din enunt in loc de k punem n. In acest caz limita ar fi egala cu 1.
Incearca sa vezi de ce….
Da, acum am inteles. Deci prima metoda este solutia.
cred ca la asta va referiti.
n^(1/2+1/4+1/8+…+1/(2^k))/n=n^{1/2*[1-(1/2)^k)/(1-1/2)]}/n=
n^[1-(1/2)^k]/n=n^[-(1/2)^k]
Deci limita cand n tinde la infinit da 0 barat.