Fie a, b, c numere naturale relativ prime(ce inseamna relativ prime?)Sa se arate ca daca radical din a, radical din b si radical din c sunt termeni ai aceleiasi progresii aritmetice, atunci a,b,c sunt patrate perfecte.
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Fie a, b, c numere naturale relativ prime(ce inseamna relativ prime?)Sa se arate ca daca radical din a, radical din b si radical din c sunt termeni ai aceleiasi progresii aritmetice, atunci a,b,c sunt patrate perfecte.
Relativ prime inseamna ca oricare doua sunt prime intre ele.
Fie r ratia progresiei. Evident ca progresia este neconstanta si deci ratia este nenula.
Rezulta ca exista m si n naturale nenule astfel incat
sqrt(c)-sqrt(a)=mr si sqrt(b)-sqrt(a)=nr
Rezulta ca (sqrt(c)-sqrt(a))/(sqrt(b)-sqrt(a))=m/n=q, unde q este numar rational de unde rezulta ca
sqrt(c)-sqrt(a)=q(sqrt(b)-sqrt(a)) de unde rezulta ca
sqrt(c)=(1-q)sqrt(a)+qsqrt(b) (1)
de unde rezulta ca
c=(1-q)^2*sqrt(a)+q^2*sqrt(b)+2q(1-q)sqrt(ab) (2)
Evident q este nenul.
Daca q=1, din relatia (1) rezulta ca sqrt(c)=sqrt(b) deci c=b ceea ce contrazice faptul ca b si c sunt prime intre ele.
Deci q nu poate fi nici 0, nici 1 si ca urmare q(q-1) este nenul.
Din relatia (2) rezulta ca este necesar ca sqrt(ab) sa fie numar rational si cum radical dintr-un numar natural nu poate fi rational nenatural rezulta ca sqrt(ab) trebuie sa fie patrat perfect si ,deoarece a si b sunt prime intre ele, rezulta ca a si b trebuie sa fie fiecare patrat perfect.
Te las pe tine sa arati mai departe ca si c trebuie sa fie patrat perfect. Succes