Home/ Intrebari/Q 77743
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

xor_NTG
maestru (V)
Pe: 2012-08-22T13:04:07+03:00 In: In:

Limita de sir

Salut!

Am urmatoarea limita care trebuie calculata prin metoda inlocuirii directe:

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3^n + 4^n + 5^n }}{{3^{n + 1} + 4^{n + 1} + 5^{n + 1} }} \]

Am incercat sa distribui limita la numitorul si numaratorul fractiei, apoi la fiecare termen, apoi la baza si la exponent dar mereu ajung la nedeterminarea

    \[ \frac{\infty }{\infty } \]

. Am incercat sa dau factor comun la exponentii termenilor de jos pe n dar ajung tot la acea nedeterminare.

Vreau doar o idee.

Multumesc.

Similare

4 raspunsuri

  1. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    xor_NTG wrote: Salut!

    Am urmatoarea limita care trebuie calculata prin metoda inlocuirii directe:

        \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3^n + 4^n + 5^n }}{{3^{n + 1} + 4^{n + 1} + 5^{n + 1} }} \]

    Am incercat sa distribui limita la numitorul si numaratorul fractiei, apoi la fiecare termen, apoi la baza si la exponent dar mereu ajung la nedeterminarea

        \[ \frac{\infty }{\infty } \]

    . Am incercat sa dau factor comun la exponentii termenilor de jos pe n dar ajung tot la acea nedeterminare.

    Vreau doar o idee.

    Multumesc.


    Dai factor comun fortat la numarator pe 5^n iar la numitor dai factor comun fortat pe 5^(n+1).
    Rezultatul este 1/5

  2. xor_NTG
    maestru (V)

    Am inteles. Multumesc.

  4. xor_NTG
    maestru (V)

    Ceva nu merge.
    Am facut cum mi-ati spus:

        \[ \begin{array}{l} \frac{{3^n + 4^n + 5^n }}{{3^{n + 1} + 4^{n + 1} + 5^{n + 1} }} = \frac{{5^n \left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 1} \right]}}{{5^{n + 1} \left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{n + 1} + \left( {\frac{4}{5}} \right)^{n + 1} + 1} \right]}} = \frac{{5^n \left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 1} \right]}}{{5^n \cdot 5\left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n \frac{3}{5} + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n \frac{4}{5} + 1} \right]}} = \\ = \frac{{\left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 1} \right]}}{{3 \cdot \left( {\frac{3}{5}} \right)^n + 4 \cdot \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 5}} \\ \end{array} \]

    dar nu ajung unde trebuie. Sa inteleg ca daca dau factor comun pe 5^n la numarator si pe 5^n+1 la numarator, acele paranteze ar trebui sa fie identice?

  5. Integrator
    maestru (V)

    xor_NTG wrote: Ceva nu merge.
    Am facut cum mi-ati spus:

        \[ \begin{array}{l} \frac{{3^n + 4^n + 5^n }}{{3^{n + 1} + 4^{n + 1} + 5^{n + 1} }} = \frac{{5^n \left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 1} \right]}}{{5^{n + 1} \left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{n + 1} + \left( {\frac{4}{5}} \right)^{n + 1} + 1} \right]}} = \frac{{5^n \left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 1} \right]}}{{5^n \cdot 5\left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n \frac{3}{5} + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n \frac{4}{5} + 1} \right]}} = \\ = \frac{{\left[ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n + \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 1} \right]}}{{3 \cdot \left( {\frac{3}{5}} \right)^n + 4 \cdot \left( {\frac{4}{5}} \right)^n + 5}} \\ \end{array} \]

    dar nu ajung unde trebuie. Sa inteleg ca daca dau factor comun pe 5^n la numarator si pe 5^n+1 la numarator, acele paranteze ar trebui sa fie identice?

    A se lua in considerare doar a treia fractie din sirul de fractii egale scrise mai sus si stiind ca \frac{3}{5}<1 atunci rezulta ca (\frac{3}{5})^n tinde la zero cand n tinde la infinit si la fel in cazul lui \frac{4}{5} si deci in concluzie rezulta ca valorile din parantezele drepte din a treia fractie tind la valoarea 1 si deci valoarea limitei fractiei din enuntul problemei este \frac{1}{5}.

Raspunde

Raspunde