Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1.Functia f:R->R verifica relatia f(x+2)+f(x-2)=f(x), oricare ar fi x din R.
a).Sa se arate ca f este periodica.
b).Sa se calculeze f(0)+f(4)+f(8)+…+f(236).
2.Fie functia f:R->R,
![\[f(x)=\frac{x^2}{x^2+4}\]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6b0c63a0c9b4e2705dc7ab2747832e5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
a).Sa se arate ca f este marginita.
b).Sa se afle Imf.
c).Sa se rezolve in R ecuatia
![\[(fof)(x)=f^2{(x)}\]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3909eba1c7138fb2e1bcbd287baa2680_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
M-am gandit un pic la prima problema si desi nu am terminat-o cred ca aceste informatii te-ar putea ajuta:
f(x+2)+f(x-2)=f(x) => f(x-2)=f(x)-f(x+2)(i)
trecand pe x in x-2 in formula din ipoteza obtinem:
f(x-2)=f(x)+f(x-4)(ii)
(i)+(ii)=>f(x-4)=-f(x+2)
Trecem in aceasta relatie pe x in x+4 si avem
f(x)=-f(x+6)=-(-f((x+6)+6))=f(x+12)
Deci f(x)=f(x+12) deci functa f este periodica de perioada 12
Observatie: E posibil ca aceasta sa nu fie perioada principala dar alta nu am gasit.
La punctul b) datorita punctului a) putem scrie ca f(0)=f(12); f(4)=f(16),
f(8)= f(20)… etc si grupam termenii sumei in grupe de cate 3 astfel:
f(0)+f(4)+f(8)+…+f(236)=(f(0)+f(4)+f(8))+(f(0)+f(4)+f(8))+…+(f(0)+f(4)+f(8))+f(0)+f(4) la sfarit vom avea termenii f(0)+f(4) deoarece restul impartirii lui 236 la 3 este 2.
Avem ca f(2)=f(0)+f(4)
iar
f(0)+f(4)+f(8)=0
deoarece f(4)=f(2)+f(6)=f(0)+f(4)+f(4)+f(8)=>f(0)+f(4)+f(8)=0
Deci suma ar fi f(2)