Totul a pornit de aici.
http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?p=55389#55389
Initial cineva a postat pe Forum.matematic.ro următoarea problemă : „Să se găsească patru numere impare consecutive al căror produs este pătrat perfect”.
Am dat două solutii pe care le-am postat la adresa aferentă link-ului.
Încerc a extinde problematica punându-mi următoarele probleme :
…1) Care sunt numere naturale m>1 pentru care există m numere impare consecutive al căror produs să fie pătrat perfect ?
Am reusit să arăt că produsul a două numere impare consecutive nu poate fi pătrat perfect (deoarece dă restul 3 la împărtirea cu 4 în timp ce orice pătrat perfect impar dă restul 1 la împărtirea cu 4), produsul a 3 numere impare consecutive nu poate fi pătrat perfect (deoarece cele 3 numere impare consecutive sunt prime între ele două câte două si deci ar trebui ca fiecare să fie pătrat perfect-dar nu există pătrate perfecte a căror diferentă să fie egală cu doi). De asemenea produl a 5 numere impare consecutive nu poate fi pătrat perfect, deoarece dacă avem numerele
n-4;n-2;n;n+2;n+4 cu n impar rezulta ca
(n-4)(n-2)n(n+2)(n+4).
Deoarece n este impar rezulta ca n; (n-4)(n+2) si (n-2)(n+4) sunt prime intre ele doua cate doua si deci trebuie sa fie fiecare patrate perfecte. Dar pentru n impar
(n-4)(n+2) da restul 3 la impartirea cu 4 si deci nu poate fi patrat perfect.
De asemenea am reusit să arăt ca produsul a sase numere impare consecutive nu poate fi pătrat perfect. Într-adevăr avem că (2n-5)(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)=
=(4n^2-1)(4n^2-9)(4n^2-25). Dar 4n^2-9 este prim cu (4n^2-1)(4n^2-25) si ca urmare
trebhuie să fie patrat perfect. Dar 4n^2-9 dă restul 3 la împărtirea cu 4 si deci nu poate fi pătrat perfect.
2) Pentru m>2 natural dat, care sunt progresiile aritmetice de numere naturale nenule pentru care există m termeni consecutivi astfel încât produsul lor să fie pătrat perfect
3) Care sunt progresiile aritmetice de numere naturale nenule care admit un număr natural m>2 astfel încât produsul a m termeni consecutivi să fie pătrat perfect.See more
Bogdan Stanoiumaestru (V)
Astept idei. Va multumesc.
Salut Bogdan !
Stabilim initial o conditie.
Fie m numere impare consecutive.
Dacă unul din aceste m numere impare consecutive se divide cu un număr prim P(n), mai mare ca m, atunci produsul acelor m numere consecutive nu poate fi pătrat perfect. Pentru că factorul P(n) apare în acel produs doar la puterea I.
De aici deducem că orice număr prim impar care divide oricare dintre cele m numere impare consecutive trebuie să fie un număr prim mai mic ca m.
Pentru m=4, produsul a 4 numere impare consecutive nu poate fi pătrat perfect. Pentru că unul dintre ele se divide obligatoriu cu un număr prim mai mare ca 3 , iar într-un interval de 4 numere impare consecutive, acel număr prim apare o singură dată ca factor al unuia din acele m numere impare consecutive.
Generalizat pentru m>1, situatia cred că este asemănătoare.
În oricare interval de m numere impare consecutive, cel putin unul din aceste numere se divide cu un număr prim mai mare ca m, ceea ce demonstrează direct faptul că produsul a m numere impare consecutive nu poate fi pătrat perfect, asa la prima vedere as afirma chiar că nu poate fi un număr la o putere n, n,m>1.
Desigur, afirmatia trebuie demonstrată, iar dacă te interesează as putea să încerc una.
Îmi poate cineva explica cum trebuie procedat pentru afisarea ecuatiilor în LaTex ?
As vrea să scriu demonstratia generalizată a afirmatiei anterioare.
http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=567