Integrala unei functii inverse

Question

danlianauser (0)

Pe: 18 august 20122012-08-18T18:24:19+03:00 2012-08-18T18:24:19+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Integrala unei functii inverse

Fie f(x)=(-x^3+2x^2-5x+8)/(x^2+4). Stiind ca f este bijectiva sa se calculeze : integrala de la 4/5 la 2 din (f la -1)(x)dx.
(f la -1)(x) este inversa functiei f(x)

21 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Integrator · Answer 1 · 2012-08-19T14:31:06+03:00

danliana wrote: Fie f(x)=(-x^3+2x^2-5x+8)/(x^2+4). Stiind ca f este bijectiva sa se calculeze : integrala de la 4/5 la 2 din (f la -1)(x)dx.
(f la -1)(x) este inversa functiei f(x)

O idee:
Notam $y=f(x)$ si deci putem scrie ca $x^3+(y-2) \cdot x^2+5 \cdot x-8+4 \cdot y=0$ si vedem care sunt solutiile acestei ecuatii de gradul trei in functie de $y$ pentru care admite functie inversa si dupa aceea se schimba $y$ cu $x$ .Calculele sunt laborioase.Cate inverse are functia $y=f(x)$ ?

DD · Answer 2 · 2012-08-19T16:20:06+03:00

Sa luam de buna , faptul ca functia data , f(x) este bijectiva si in acest caz functia are si inversa .
Putina teorie (scuze).
O functia data f(x) se defineste prin ; f : A -> B , unde ;
-A este o multime de elemente si constitue domeniul lui f(x). Domeniul unei functii, contine toate valorile admise pentru variabila „x”. Totdeauna elementele din domeniul sunt valori numai ,ale variabilei functiei si se noteaza cu „x” .
-B este o multime de elemente si constitue codomeniul lui f(x). Codomeniul unei functii , contine valori pe care le poate lua f(x), cand in expresia functiei s-au introdus valorile variabilei, dar nu numai.Aceste elemente sunt notate deobicei cu „y” . (f(x)=y).
-Daca functia f ; A -> B are proprietatea sa fie bijectiva , atunci exista si o inversa a acestei functii definita ; f^(-1) ; B -> A . Acum, multimea B are rol de domeniul al functiei si elementele multimii se noteaza cu „x” (inainte erau notate cu „y”) si multimea A are rol de codomeniu si elementele multimii se vor nota cu „y”. (inainte se notau cu „x”)
-Si f^(-1)(x) este bijctiva. Intr-o functie bijectiva f(x),unui element (x’) din domeniu ii corespunde un singur element (y’) , in codomniu.In functia inversa f^(-1)(x) se pastreaza crespondenta dintre (x’) si (y’) -(f. important).
-Graficile lui f(x) si f^(-1)(x) sunt simetrice , unul de celalalt, fata de dreapta y=x-(prima bisectoare). Gata cu aceasta parte , pe care trebue s-o stii ca sa intelegi problema.Deci;
Vom scrie pe f(x) putin altfel ; 1]. f(x)=y=(-x^3+2.x^2-5.x+8)/(x^2+4)=-x+2-x /(x^2 + 4). Prin problema se cere integrala definita a lui f^(-1)(x) , variabila „x” luand valori intre 4/5 si 2. Asa dupa cum am aratat,lui „x” din functia f^(-1)(x), ii corespunde „y” in functia f(x). Pentru a nu incurca notiunile intre ele , sa notam cu : Xi si Yi marimile corespunzatoareale lui f^(-1)(x) si cu Xd si Yd marimile coresunzatoare ale lui f(x) atunci , Xi=Yd si Yi=Xd si se cere ; Ii=Integrala(Xi de la 4/5 la 2) din [Yi. d(Xi)]=Id =Integrala (Xd de la X’d la X”d) din [Xd.d(Yd)] unde ; d(Yd)=f ‘(Xd). d(Xd)=-{1+(4-(Xd)^2)/((Xd)^2+4)^2}. d(Xd).Limitele de integrare ; X’d si X”d trebue sa le determinam, cunoscand pe ; 2]. X’i=Y’d=4/5 si pe ; 3]. X”i=Y”d=2. Din relatiile 1]. si 2]. avem ec.;-5.(X’d)^3+6.(X’d)^2-25.(X’d)+24=0 -> (X’d)=1 (se vede ca suma coeficientilor ec. este zero) si din relatiile ;1]. si 3]. vom avea ec.; (X”d)^3+5.(X”d)=0 -> (X”d)=0. Deci ,integrala Id devine ;Id=Integrala((Xd) de la 1 la 0) din [(Xd).(-1).(1+
(4-(Xd)^2)/((Xd)^2+4)^2).d(Xd)]. Sa revenim , notand pe (Xd) cu x si avem; Id=integrala(x dela 0 la 1) din [x.(1+(4-x^2)/(x^2+4)^2.dx] =integrala(x de la 0 la 1) din [{x-x/(x^2+4)+8.x/(x^2+4)^2}.dx]=x^2/2-
(1/2).ln(x^2+4)-4/(x^2+4) (x de la 0 la 1)=(1/2-(1/2).ln5-4/5)-(-ln2-1)=7/10+ln(2/(radical din 5)). Intrebari ?

DD · Answer 3 · 2012-08-19T16:33:04+03:00

Pentru colegul meu „Integrator”, pe care, din inima, il rog sa nu se supere pe mine
-O functie f(x) bijectiva si numai, are o unica (singura) functie inversa. Ca in cazul dat, functia inversa nu se poate deduce inca, este neputinta noastra. Cu toate astea inconvenientul se poate ocoli si asta am explicat si facut. Cu respect .DD

Integrator · Answer 4 · 2012-08-19T16:55:23+03:00

DD wrote:
-Graficile lui f(x) si f^(-1)(x) sunt simetrice , unul de celalalt, fata de dreapta y=x-(prima bisectoare). Gata cu aceasta parte , pe care trebue s-o stii ca sa intelegi problema.

Excelenta idee de calculare a integralei din problema si care elimina necesitatea gasirii functiei inverse.Multumesc foarte mult!

Integrator · Answer 5 · 2012-08-19T16:57:38+03:00

DD wrote: Pentru colegul meu „Integrator”, pe care, din inima, il rog sa nu se supere pe mine
-O functie f(x) bijectiva si numai, are o unica (singura) functie inversa. Ca in cazul dat, functia inversa nu se poate deduce inca, este neputinta noastra. Cu toate astea inconvenientul se poate ocoli si asta am explicat si facut. Cu respect .DD

Nu sunt suparat de loc.Multumesc inca odata foarte mult.
Cu acelasi respect,
Integrator

Integrator · Answer 6 · 2012-08-23T12:47:08+03:00

DD wrote:
-O functie f(x) bijectiva si numai, are o unica (singura) functie inversa.

Intr-adevar asa este,dar am pus intrebarea „Cate inverse are o functie bijectiva” tocmai pentru ca acea ecuatie este de gradul trei avand ca parametru pe $y$ are trei solutii.Care este functia inversa a functiei $y=x^2+3x+5$ ?

DD · Answer 7 · 2012-08-23T22:36:15+03:00

Colega ! O fnctie f(x) este bijectiva daca este continua si strict monotona si ia toate valorile din codomeniu In acest caz, f(x) creaza o legatura biunivoca intre elementele domeniului si ale codomeniului (lui x’=a ii corespunde , prin f(x), un y’=b=f(a) si invers , lui y’ =b ii va corespunde x’=a, unde x’=a=f^(-1)(b). Dece f^(-1)(x) este unica? Rational , din cauza legaturii biunivoce dintre perechi de tipul ; (x’ ,y’) , legatura facuta de f(x). Matematic, plecand de la ec. f(x)=m-const. , aceasta nu va avea decat o singura radacina reala ,( restul radacinilor vor fi complexe , f(x) fiind strict monotona taie o singura data axa OX). Determinarea lui
y=f^(-1) se va face dintr-o ec.asemanatoare;x=f(y) , si vom avea un singur y in R, restul solutiilor y vor fiind complexe. Este suficienta motivarea? DONMUL sa fie cu tine. DD

Integrator · Answer 8 · 2012-08-27T05:34:04+03:00

DD wrote: Colega ! O fnctie f(x) este bijectiva daca este continua si strict monotona si ia toate valorile din codomeniu In acest caz, f(x) creaza o legatura biunivoca intre elementele domeniului si ale codomeniului (lui x’=a ii corespunde , prin f(x), un y’=b=f(a) si invers , lui y’ =b ii va corespunde x’=a, unde x’=a=f^(-1)(b). Dece f^(-1)(x) este unica? Rational , din cauza legaturii biunivoce dintre perechi de tipul ; (x’ ,y’) , legatura facuta de f(x). Matematic, plecand de la ec. f(x)=m-const. , aceasta nu va avea decat o singura radacina reala ,( restul radacinilor vor fi complexe , f(x) fiind strict monotona taie o singura data axa OX). Determinarea lui
y=f^(-1) se va face dintr-o ec.asemanatoare;x=f(y) , si vom avea un singur y in R, restul solutiilor y vor fiind complexe. Este suficienta motivarea? DONMUL sa fie cu tine. DD

Fara suparare!Nu sunt o colega ci pot fi doar un coleg.Nu ma supar dar ma deranjeaza sa mi se adreseze cineva cu „colega” deoarece eu nu sunt Integratoarea ci Integrator.
Sa lasam teoria si sa rationam practic.Se pare ca nu am fost inteles bine si de aceea am cerut si repet „Sa se gaseasca functia inversa a functiei $y=x^2+3x+5$ .”.Daca rezolvam ecuatia $x^2+3x+5-y=0$ obtinem doua solutii si eu zic ca functia inversa in acest caz este $y^{-1}(x)=\frac{-3\pm sqrt{4 \cdot x-11}}{2}$ .In cazul ecuatiei de gradul III corespunzatoare enuntului problemei sunt trei solutii si deci cum am putea sti care este functia inversa?Multuumesc!
Fara suparare!Cine este DONMUL?Presupun ca s-a dorit sa se scrie DOMNUL dar nu vad ce are a face aici acel Domn la care s-o fi facand referire dar daca e vorba despre Domnul Iisus Hristos atunci eu zic ca El vrea sa fie tot timpul cu noi dar noi cam fugim de El.Fara suparare!Toate cele bune!Multumesc!
🙄

DD · Answer 9 · 2012-08-27T09:31:25+03:00

Domnule Integrator , imi cer scuze pentru exprimare si pentru greseli de scriere. Sincer, imi pare rau .
Functia data; f(x)=x^2+3.x+5 , fara a preciza domeniul si codomeniul,nu se poate spune nimic despre ea . Daca functia este definita ca; f :R->R si relatia data de dunmeavoastra , aceasta functie nu este nici injectiva , nici surjectiva si deci nu este bijectiva si nu are inversa. Daca functia ar fi definita ; f : [ 0 , +infinit) -> [5 , +infinit) si relatia data de dumneavoastra , atunci functia ar fi si injectiva si surjectiva si deci bijectiva si ar avea inersa. Inversa se va deduce din ;1]. x=y^2+3.y+5
->y=(-3(+/-).(radical din (9-4.(5-x))/2. Cum intr-o functie bijectiva , „legatura” dintre elementele unei perechi (a , b), unde ; b=
f(a) ramane aceeasi si in functia inversa ; a=f^(-1)(b) , vom determina , in cazul dat expresia lui f^(-1)(x) Fie ; a=2 , atunci b=2^2+3.2+5=15. In functia inversa vom avea; 2=(-3(+/-).(radical din (9-4.(5-15))/2=(-3(+/-).
7)/2=(-3+7)/2=2. Rezulta ; f^(-1)(x) ; [5 , +infinit)->[0 , +infinit) avand relatia ; f^(-1)(x)=(-3+(radical din (9-4.(5-x))))/2 . Deci din cele 2 functii deduse, numai una poate fi functie inversa .
Va rog sa ma iertati pentru felul in care m-am adresat inainte. DD

Integrator · Answer 10 · 2012-08-27T17:05:46+03:00

DD wrote: Domnule Integrator , imi cer scuze pentru exprimare si pentru greseli de scriere. Sincer, imi pare rau .
Functia data; f(x)=x^2+3.x+5 , fara a preciza domeniul si codomeniul,nu se poate spune nimic despre ea . Daca functia este definita ca; f :R->R si relatia data de dunmeavoastra , aceasta functie nu este nici injectiva , nici surjectiva si deci nu este bijectiva si nu are inversa. Daca functia ar fi definita ; f : [ 0 , +infinit) -> [5 , +infinit) si relatia data de dumneavoastra , atunci functia ar fi si injectiva si surjectiva si deci bijectiva si ar avea inersa. Inversa se va deduce din ;1]. x=y^2+3.y+5
->y=(-3(+/-).(radical din (9-4.(5-x))/2. Cum intr-o functie bijectiva , „legatura” dintre elementele unei perechi (a , b), unde ; b=
f(a) ramane aceeasi si in functia inversa ; a=f^(-1)(b) , vom determina , in cazul dat expresia lui f^(-1)(x) Fie ; a=2 , atunci b=2^2+3.2+5=15. In functia inversa vom avea; 2=(-3(+/-).(radical din (9-4.(5-15))/2=(-3(+/-).
7)/2=(-3+7)/2=2. Rezulta ; f^(-1)(x) ; [5 , +infinit)->[0 , +infinit) avand relatia ; f^(-1)(x)=(-3+(radical din (9-4.(5-x))))/2 . Deci din cele 2 functii deduse, numai una poate fi functie inversa .
Va rog sa ma iertati pentru felul in care m-am adresat inainte. DD

Nu inteleg!Eu zic ca functia inversa a functiei $y=x^2+3 \cdot x+5$ este $y^{-1}(x)=\frac{-3\pm \sqrt{4x-11}}{2}$ si deci nu e necesar sa se dea domeniul de definitie a functiei pentru a afla functia ei inversa deoarece acesta trebuie aflat iar pentru functia $y=x^2+3 \cdot x+5$ domeniul de definitie este $(- \infty,+\infty)$ .Daca gresesc rog sa fiu corectat.Multumesc!Numai bine!

DD · Answer 11 · 2012-08-27T19:44:13+03:00

Domnule,va rog sa ma scuzati daca o sa fiu nepoliticos si nici sa fac pe profesorul cu dumneavoastra , dar cred ca sunteti tare incapatanat. Mi-aduc aminte de o poveste ;
Un profesor de matematica, medita pe un print si acesta spunea profesorului ca nu intelege si profesorul nu mai stia cum sa-l faca sa inteleaga. Atunci proful spune printului;
-Pe cuvant de onoare printe, teorema despre care discutam ,este adevarata.
La care printul raspunde.
-Asa da. Acum am inteles.Vezi ce simplu era?
Daca ar fi posibil , asi face ca profesorul si v-asi spune;
Pe cuvant de onoare domnule, ce v- am spus este adevarat. In final , profesorii dumneavoastra va vor convinge de spusele mele.
Pe cuvant de onoare !
Cu respect. DD

Integrator · Answer 12 · 2012-08-28T06:21:20+03:00

DD wrote: Domnule,va rog sa ma scuzati daca o sa fiu nepoliticos si nici sa fac pe profesorul cu dumneavoastra , dar cred ca sunteti tare incapatanat. Mi-aduc aminte de o poveste ;
Un profesor de matematica, medita pe un print si acesta spunea profesorului ca nu intelege si profesorul nu mai stia cum sa-l faca sa inteleaga. Atunci proful spune printului;
-Pe cuvant de onoare printe, teorema despre care discutam ,este adevarata.
La care printul raspunde.
-Asa da. Acum am inteles.Vezi ce simplu era?
Daca ar fi posibil , asi face ca profesorul si v-asi spune;
Pe cuvant de onoare domnule, ce v- am spus este adevarat. In final , profesorii dumneavoastra va vor convinge de spusele mele.
Pe cuvant de onoare !
Cu respect. DD

Nu vad nicio nepolitete si recunosc ca sunt ambitios in bine in acest caz daca la acest sens al cuvantului incapatanat se face referire dar daca se face referire la alt sens al cuvantului incapatanat atunci s-ar putea sa consider aceast atribut ca fiind o nepolitete.Fara suparare!
Frumoasa anecdota dar nu vad legatura cu problema propusa.Fara suparare!In concluzie functia $y=x^2+3 \cdot x+5$ are functie inversa si pe ce domenii anume?As dori detalii logice asta asa ca sa vedem cine este sau nu este in eroare.In acest sens as dori sa stiu care este extremul functiei $y=x^2+3 \cdot x+5$ si poate asa ne vom lamuri cumva.Multumesc mult!
Cu acelasi respect,
Integrator

DD · Answer 13 · 2012-08-28T10:32:50+03:00

In primul rand , cred eu ca este necesar , sa-l rugam pe domnul administrator al saitulu sa nu scuze si sa ne dea voie sa facem aceasta discutie. Nu discutam decat despre matematica.
Continui cele spuse mai sus. Sa privim problema pe „bucatele”
A]. Fie 2 multimi A si B si fie in A un element „a” si in B un element „b”Fie ca „a” este „legat ” de „b” prin relatia ; b=f(a) si „b” este „legat „de „a” , printr-o relatie inversa a=f^(-1)(b). Acest lucru este posibil numai daca intre cele doua elemente ale perechii (a ,b) , exista o relaie biunivoca (lui „a” ii corespunde „b” si lui „b” ii corespunde „a”).
B]. Dand o valoare variabilei (x) , dintr-o functie f(x) se obtine o singura valoare a functiei; y’=f(x’). Pot fi insa functii in care , pentru doua sau mai multe valori ale variabilei (x) sa am o singura valoare a functiei. (f(x’)=
f(x”)=y. In primul caz , intre x’ si y’exista o legatura y’=f(x’) si poate sa existe su o legatura inversa x’=f^(-1)(y’). In al doilea caz. intre x’ si y avem legatura y=f(x’) si intre x” si y exista legatura y=f(x”). Pentru aeste doua perechi de elemente nu este posibil sa avem o relatie inversa, adica ;x’=f^(-1)(y) si x”=f^(-1)(y) , matematica nu ar putea favoriza pe x’ sau x”.
C]. Intr-o functie f : A -> B , daca toate elementele din A si B se bucura de proprietate A], atunci f : A -> B este bijectiva si intre elementele
oricarei perechi (a,b) exista o relatie b=f(a) si o relatie a=f^(-1)(b). In cazul al doilea de la B]. exista relatiile de tipul y=f(a’)=f(a”) , dar relatia inversa nu mai poate exista. Functiile cu aceste proprietati nu sunt bijective si deci nu pot avea pe f^(-1)(x).
D]. Exemplu concret;
1]. Fie ; f : R -> R, unde f(x)=x^2+3.x+5 . Fie x’=1 si x”=-4 , x’ este legat de y=1+3+5=9 si formeaza perechea (1,9) si x”este legat de y=16-12+5=9 si formeaza pereche (-4,9). In acest caz, cum am defini pe
f^(-1)? Definim 2 functii? Cum vom lucra cu ele?
2]. Fie f : (-3/2 , -infinit)->(11/9 , +infinit) si f(x)=x^2+3.x+5 . Lui x’=-4 corespunde y=9. Din expresia x=y^2+3.y+5->y’,y”=(-3(+/-).(radical din
9-4.(5-x)))/2.(In relatia inversa x devine y si y devine x ). Pentru x=9-> y’,y”=(-3(+/-).(radical din (9-4.(5-9))=(-3(+/-).5)/2. din cele doua functii vom lua functia pentru care y=-4 ceea ce ii corespunde f^(-1)=(-3-(radical din (9-4.(5-x)))/2.Pentru f ;(-3/2 , +infinit)->(11/9 , +infinit)vom gasi f^(-1)(x)=(-3+(radical din (9-4.(5-x)))/2. Ultimile 2 functii sunt diferite si unice si sunt definite pe diferit intervale.
E]. Extremele lui f(x) sunt punctele de pe Gf in care dreptele tangente la Gf sunt // cu OX. Fie y=m o dreapta tangenta la Gf. Ec f(x)=m va avea o silutie dubla si reprezinta abscisa punctului de tangenta si m coordonata.
Ex f(x)=x^2+3x+5. Varful lui Gf , care este parabola, este punct de extrem.-3/2 , 11/9). Domnule va rog sa ma scuzati pentru eventualele greseli de scriere. Am obosit bine si nu mai am pofta de nimic. DD

Integrator · Answer 14 · 2012-08-29T10:13:20+03:00

Deci pentru $x=-\frac{3}{2}$ rezulta ca functia $y=x^2+3 \cdot x+5$ are un punct de extrem si anume un minim.Pentru care dintre intervalele $(-\infty,-\frac{3}{2}]$ , $[-\frac{3}{2},+\infty)$ functia $y=x^2+3 \cdot x+5$ are functie inversa?Multumesc!
Fara suparare!Pe mine ma oboseste mult cand trebuie sa cistesc ceva care nu este scris „Tex”,dar ce sa fac daca vreau sa inteleg cat mai bine matematica. 🙄

DD · Answer 15 · 2012-08-29T13:57:38+03:00

Ma bucur ca ai reusit ; mai intai , sa ai rabdare sa citesti „scrierea” mea amatematica si in al doilea , ca ai lamurit functia inversa. Am apreciat tenacitatea ta si faptul ca ai avut si dreptate cand ai sustinut ca ambele functii inverse; y’ si y” reiesite din ec . x=y^2+3,y+5 ,sunt necesare . La final, am inteles si eu ideea ta. Cu respect DD

Integrator · Answer 16 · 2012-08-29T14:43:35+03:00

DD wrote: Ma bucur ca ai reusit ; mai intai , sa ai rabdare sa citesti „scrierea” mea amatematica si in al doilea , ca ai lamurit functia inversa. Am apreciat tenacitatea ta si faptul ca ai avut si dreptate cand ai sustinut ca ambele functii inverse; y’ si y” reiesite din ec . x=y^2+3,y+5 ,sunt necesare . La final, am inteles si eu ideea ta. Cu respect DD

In concluzie functia $y=x^2+3x+5$ are deci functie inversa asa cum am spus eu.Multumesc pentru confirmare!Daca in cazul unei functii polinomiale de gradul II este mai simplu de calculat functia inversa pentru o functie plinomiala de gradul III de forma $y=x^3+p \cdot x+q$ este mai complicat de calculat functia inversa si deci tare mult as vrea sa lamurim si aceasta problema propusa de mine la clasa a XII-a la subiectul „Functia inversa”.Multumesc!
Cu acelasi respect,
Integrator

DD · Answer 17 · 2012-08-29T19:37:02+03:00

Domnule, fi FOARTE ATENT. Nu este corect sa zici ca ; f(x)=x^2+3.x+5 are inversa. (f(x) se defineste ca f : R-> R). Cred ca poti zice ;” f : R-> R . , unde : f(x)=x^2+3.x+5 genereaza 2 functii care au inverse;
a) f1 : (-3/8 , -infinit)->(11/4 , +infinit) , unde; f1(x)=x^2+3.x+5 si are inversa (unica) f1^(-1) : (11/4 , +infinit) ->(-3/2 , -infinit) unde ; f^(-1)(x)=(-3-(radical in (9-4.(5-x)))/2 si
b]. f2 : (-3/2 , +infinit)->(11/4 , +infinit) unde; f2(x)=X^2+3.x+5 si are inversa ; f1^(-1) : (11/4 , +infinit)->(-3/2 , +infinit) , unde f2^(-1)(x)=(
-3+(radical din (9-4(5-x)))/2″ .( f1 si f2 sunt bijective, f nu este bijectiva)
Aceasta exprimare este cu totul altceva.
In cazul unei functii de grad 3. problema poate genera 3 functii care sa aibe inversa si in general trebue studiata functia (se face Gf pentru a gasi cele 3 functii posibile, care sa aibe inverse)

Integrator · Answer 18 · 2012-08-30T04:23:53+03:00

Nu mai inteleg nimic!De unde se zicea ca functia $y=x^2+3 \cdot x+5$ nu are inversa acum vad ca are doua inverse.Daca functia $y=x^2+3 \cdot x+5$ este bijectiva pe intervalele $(-\infty ,-\frac{3}{2}]$ si $[-\frac{3}{2},+\infty)$ atunci rezulta ca are o singura functie inversa si anume functia $y^{-1}=\frac{-3 \pm \sqrt{4 \cdot x-11}}{2}$ .Fara suparare!Eu sunt foarte atent dar nu inteleg.
Intrebare:
Daca o functie are o functie inversa atunci functia inversa respectiva cate functii inverse are?
Astept raspuns.Multumesc mult!

DD · Answer 19 · 2012-08-30T19:53:08+03:00

Domnule, functiile ;
1]. f : R -> R , unde relatia f(x)=x^2+3.x+5
2]. f1:(-3/2 , -infinit)->(11/4 , +infinit) , unde f1(x)=x^2+3.x+5
3]. f2:9-3/2 , +infinit)->(11/4 , +infinit) , unde f2(x)=x^2+3.x+5 sunt 3 functii diferite, de sine statatoare, chiar daca sunt „rude”, (ultimile doua functii provin din prima sau, sunt generate de prima) Fiecare functie trebue analizata separat si matematic , in nici un fel, nu au vreo legatura una cu alta si nu le poti amesteca.
Ai lansat o problema cu aceste functii fara sa precizezi domeniul si codomeniul la nici o functie. Nu cred ca vei primi vreun raspuns , nu pot fi analizate. Eu am rabdare. DD

Integrator · Answer 20 · 2012-09-05T05:09:45+03:00

DD wrote: Domnule, functiile ;
1]. f : R -> R , unde relatia f(x)=x^2+3.x+5
2]. f1:(-3/2 , -infinit)->(11/4 , +infinit) , unde f1(x)=x^2+3.x+5
3]. f2:9-3/2 , +infinit)->(11/4 , +infinit) , unde f2(x)=x^2+3.x+5 sunt 3 functii diferite, de sine statatoare, chiar daca sunt „rude”, (ultimile doua functii provin din prima sau, sunt generate de prima) Fiecare functie trebue analizata separat si matematic , in nici un fel, nu au vreo legatura una cu alta si nu le poti amesteca.
Ai lansat o problema cu aceste functii fara sa precizezi domeniul si codomeniul la nici o functie. Nu cred ca vei primi vreun raspuns , nu pot fi analizate. Eu am rabdare. DD

Fara suparare!Se stie ca daca o functie este bijectiva pe un anumit domeniu atunci acea functie are o functie inversa si numai una singura.De ce se imparte domeniul functiei $y=x^2+3 \cdot x+5$ in doua cand eu cred ca nu este cazul?Nu inteleg!Daca o functie este bijectiva pe intervalele $(-\infty,a]$ si $[a,+\infty)$ atunci acea functie nu este bijectiva pe intervalul $(-\infty,+\infty)$ ?

Codrin Radetchi · Answer 21 · 2023-04-18T21:49:55+03:00

Bineinteles ca nu! Pentru a fi bijectiva trebuie sa fie injectiva si surjectiva. Fiind bijectiva pe ambele intervale in parte, este surjectiva pe ele, deci atinge toate valorile din fiecare interval si deci este surjectiva si pe reuniunea lor. Deci surjectiva este. Injectivitatea, insa, nu este garantata. Chiar daca este strict monotona pe fiecare interval in parte, asta nu ma asigura ca este pe reuniunea lor. Poate pe primul interval creste, iar pe al doilea scade. Pe ambele este monotona, dar functia per total nu este. Luam ca exemplu $f(x) = x^{2}$ . Definim functia pe R cu valori in [0, inf) ca sa fie surjectiva. Continua clar este, deci mai ramane monotonia. Intr-adevar, pe (-inf, 0) si (0, inf) este strict monotona: descrescatoare, respectiv crescatoare. Dar daca reunesc intervalele, e clar ca nu va fi monotona, tocmai ca intr-o parte scade, iar dupa creste. Ca sa nu mai zic ca in 0 derivata e 0 deci nici nu scade nici nu creste. Deci se vede clar ca nu conteaza daca este strict monotona pe anumite intervale, trebuie sa fie strict monotona pe intreg codomeniul.

Propun acum o varianta mult mai simpla de a verifica injectivitatea. Oriinde trasez o linie de genu y=a, adica paralela cu Ox, trebuie sa imi intersecteze Gf in maxim un punct. Cu alte cuvinte, pt fiecare valoare y din codomeniu, trebuie sa existe un singur (dar trebuie sa existe) x a. i. f(x) = y. Astfel daca gasesti 2 sau mai mult puncte care trecute prin functie dau aceleasi valori, ai demonstrat ca functia respectica nu e injectiva.

Apropo, terminati cu analfabetisme matematice de genu functia are 2 inverse. Daca functia nu este injectiva, nu are inverse. Poate gasiti functii ale caror inverse sunt functia voastra partial, dar asta este absolut irelevant si fara niciun temei matematic si logic, aici vorbind de o logica la indemana oricui, nu de vreun silogism extraordinar. Nu inteleg cum poti scrie pagini intregi de demonstratii pt a explica ceva de asemenea infantilism logic.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Integrala unei functii inverse

Similare

21 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul