Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Sa se calculeze:
a)1^2+3^2+…+(2n-1)^2=
b)1.2.3+2.3.4+…+n.(n+1).(n+2)=
c)1^3+3^3+…(2n-1)^3=
d)1^2.2+2^2.3+3^2.4+…+n^2(n+1)=
e)1^2/(1.3)+2^2/(3.5)+…+n^2/[(2n-1).(2n+1)]=
f)1/1.3.5+1/3.5.7+…+1/[(2n-1).(2n+1).(2n+3)]=
g)3/1.3+7.3/2.4+11.3^2/3.5+…+[(4n-1).3^(n-1)]/[n(n+2)]=
Exercitiile ; a]. ,b]. c]. , d]. se fac tinand seama de formulele ;
Suma(k de la 1 la n) din [k]=n.(n+1)/2 ,
Suma(k de la 1 lan) din [k^2]=n.(n+1).(2.n+1)/6 ,
Suma(k de la 1 la n) din [k^3]=((n.(n+1))^2)/4
Ex; ex.d]. Suma data se scrie si; Suma(k de la 1 la n) din [k^2.(k+1)]=Suma(k de la 1 la n) din [k^3+k^2]=Suma(k de la 1 la n) din [k^3]+Suma(k de la 1 la n) din {k^2)=((n,(n+1))^2)/4+n.(n+1).(2.n+1)/6=n.((n+1)/2).(n.(n+1)/2+(2.n+1)/3)=n.(n(+1).(3.n^2+7.n+2)/12. La fel se fac si ex ; a]. ,b]. ,c]. Incearca. Nu este greu . Succes . Intrebari?
e]. Suma o scriem ; Suma(k de la 1 la n) din [k^2/((2.n-1).(2.n+1))]=suma(k de la 1 la n) din [k^2/(4.k^2-1)]. Argumentul sumei k^2/(4.k^2
-1)=(1/4).(1+1/((2.k-1).(2.k+1))=(1/4).(1+A/(2.k-1)+B/(2.k+1)) (se face descompunerea fractiei cu numitor compus din factori)=(1/4).(1+
(A.(2.k+1)+B.(2.k-1))/(4.k^2-1))=(1/4)>(1+(2.k.(A+B)+(A-B))/(4.k^2-1)). Cum numaratorul fractiei descompuse este 1 , trebue ca ; A+B=0 si A-B=1-> A=-B si A=1/2 , B=-1/2. Argumentul sumei se poate scrie si;
(1/4).(1+(1/2).(1/(2.k-1)-1/(2.k+1)).
Suma devine ; Suma(k de la 1 la n) din [1/4]+Suma(k de la 1 la n) din [(1/8).(1/(2.k-1)-1/(2.k+1)). Prima suma este egala cu n/4 (1/4 este adunat de n ori) . A doua suma se desfasoara; (1/8).Suma(k de la 1 la n) din [1/(2.k-1)-1/(2.k+1)]=(1/8).[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+….+(1/(2.n-3)-1/(2.n-1))+(1/(2.n-1)-1/(2.n+1)). Se desfac parantezele , se reduc termenii asemenea si se obtine ca suma a doua este ; (1/8).(1-1/(2.n+1))=(1/4).(n/(2.n+1)).
f]. Suma se scrie ; Suma(k de la 1 la n) din [1/{(2.k-1).(2.k+1)(2.k+3)}].
Argumentul sumei se descompune in „fractii simple”, adica ;1/{(2.k-1).(2.k+1).(2.k+3)}=A/(2.k-1)+B/(2.k+1)+C/(2.n+3) SE determina A , B , C in conditiile in care numaratorul nu are termeni in k^2 si nici in k ci numai termeni liberi; A.(4.k^2+8.k+3)+B.(4.k^2+4.k-3)+C.(4.k^2-1)=4.k^2.(A+B+C)+4.k.(2.A+.B)+(3.A-3.B-C)=1->A+B+C=0 , 2.A+B=0 , 3.A-3.B-C=1 Se determina A , B , C si se desfasoara suma.Cum A=C=1/8 si B=-1/4, suma desfasurata devine ;
Suma =
(1/8)[(1/(1-2.(1/3)+1/5)+
……+(1/3 -2.(1/5)+1/7 )+
……+(1/5-2.(1/7)+1/9 )+
………………………………
…….+(1/(2.n-5)-2.(1/(2.n-3)+1/(2.n-1))+
…….+(1/(2.n-3)-2.(1/(2.n-1)+1/(2.n+1))+
…….+(1/(2.n-1)-2.(1/(2.n+1)+1/(2.n+3)) ->se reduc termenii asemenea si se obtine; Suma=1-1/3-1/(2.n+1)+1/(2.n+3)=2/3-2/((2.n+1).(2.n+3))
INTREBARI?
g]. Suma se poate scrie si ; Suma(k de la 1 la n) din [3^(k-1).(4.k-1)/(k.(k+2))]=Suma(k de la 1 la n) din [3^(k-1).{(1/2).(-1/k+9/(k+2))]=Suma (k de la 1 la n) din [(1/2).(-(3^(k-1))/k+(3^(k+1))/(k+2))]=(1/2).{(-3^0/
1-3^1/2-3^2/3-3^3/4-…-(3^(n-1))/n)+(3^2/3+3^3/4+….+(3^(n-1))/n+(3^n)/(n+1)+(3^(n+1))/(n+2))}=(1/2).(-1-3/2+(3^n)/(n+1)+(3^(n+1))/
(n+2)=-5/4+((3^n)/2).[1/(n+1)+3/(n+2)], Intrebari?