Sa se demonstreze ca pt orice n din N, n>=2 avem:
![\[ \begin{array}{l} ).\quad \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt k }} > 2\left( {\sqrt n - 1} \right)} ; \\ ii).\quad \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt k }} > 2\left( {\sqrt {n + 1} - 1} \right)} . \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ea89b4c48954cf41b7403d451d753e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
A]. Fie ; P(n)->Suma (k de la 1 la n) din [ 1/(radical din k)]>2.((radical din n)-1), pentru n>=2. Deci ;
1]. P(2)->1/1+1/(radical din 2)>2.((radical din 2)-1), sau;
….(2+(radical din 2))/2>2.((radical din 2) -1), sau ;
….6>3.(radical din 2)->Adevarat.
2]. Fie ; m<n si pentru orice valoare a lui „m”, P(m)->Adevarat (se presupune).
3]. Utilizand relatia 2]. , sa demonstram ca si P(m+1) este adevatat
Deci; P(m)->Suma (k de la 1 la m) din [ 1/(radical din k)]=1+1/(radical din 2)+1/(radical din 3)+……+1/(radical din m)>2.((radical din
m)-1) si
…..P(m+1)->1+1/(radical din 2)+1/(radical din 3)+….+1/(radical din m)+
1/(radical din (m+1))>2.((radical din (m+1))-1).
In P(m+1), inlocuim suma termenilor de la 1 la 1/(radical din m), cu ;
2.((radical din m)-1) ,valoare mai mica SI IN DEZAVANTJUL INEGALITATII INITIALE . Daca si in acest caz inegalitatea se mentine atunci , cu atat mai mult P(m+1) este adevarat. (o expresie ca o mantra-descantec).Deci;
..2((radical din m)-1)+ 1/(radical din (m+1))>1-2.((radical din (m+1))-1)
sau ; 2.(radical din m).(radical din (m+1))>2.m+1-> 0>1 FALS.
..In acest caz nu putem sa spunem ca P(n) este adevarat.
B]. Problema se face ca si A]. .Finalul punctului 3]. devine ;
….2.((radical din (m+1))-1)+1/(radical din (m+1))>2.((radical din (m+2))-1) , sau ; (2.m+3)^2>4.(m+1).(m+2)-> Adevarat .
Deci , in acest caz putem sa spunem ca P(n) este Adevarat. Intrebari?