Sa se descompuna matricea A si sa se foloseasca metoda binomului lui Newton pt a calcula A^n , n apartine N*.
![\[ A = \left( {\begin{array} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array}} \right)\]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3169f7ccd1596300d9976974be907c49_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Rezolvare:
![\[\begin{array}{l} Fie\;A = B + 2I_3 \Rightarrow B = \left( \begin{array} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ B^2 = \left( {\begin{array} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right)\;;B^3 = O_3 . \Rightarrow B^p = O_3 ,\;\forall p \ge 3 \\ \Rightarrow A^n = \left( {2I_3 + B} \right)^n = C_n^0 \left( {2I_3 } \right)^n + C_n^1 \left( {2I_3 } \right)^{n - 1} B + C_n^2 \left( {2I_3 } \right)^{n - 2} B^2 = \\ = 2^n I_3 + (n - 1) \cdot 2{}^{n - 1}I_3 B + \frac{{(n - 1)n}}{2} \cdot 2{}^{n - 2}I_3 B^2 \\ \Rightarrow A^n = \left( \begin{array} 2^n & {(n - 1) \cdot 2^{n - 1} } & {\frac{{n(n - 1)}}{2}} \\ 0 & {2^n } & {(n - 1) \cdot 2^{n - 1} } \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33a19adccc056d79462c526a6bc65264_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Este bine??
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Sa se descompuna matricea A si sa se foloseasca metoda binomului lui Newton pt a calcula A^n , n apartine N*.
Rezolvare:
Este bine??
Pare bine. Ideea era sa anulezi in dezvoltare toti termenii care il contineau pe B la o putere mai mare sau egala cu 3, tot ce ramane duce la calcularea matricei cerute, ceea ce ai facut. Nu am verificat calculele.
Atentie ..nu se verifica la A^n …pt n=1 avem a_12=0; a_23=0..ceea ce difera de ce se da.
Nu este bine. Are dreptate flavius. Refa calculele cu mai mare atentie.
Da..multumesc..am gasit greseala🙂
..Mai am o mica intrebare.. acelasi enunt se cere si pt urmatoarea matrice (descompunere+ aplicare metodei binomului lui Newton)
La descompunere…ce coeficient ar trebui sa aiba I3??
Nu cred ca merge descompunere aici. Pe diagonala principala trebuie sa fie acelasi scalar.
Coeficientul lui I3 este 3. B^2=4*I3…
etc…cum se deduce insa A^n??😕
Binomul lui Newton. Banuiesc ca stii sa-l aplici!
Sigur ca stiu sa aplic dar ati observat cat difera matricea B la puteri pare de matricea B la puteri impare…la puterile pare sunt scalari pe diagonala principala iar la cele cu impare sunt scalari pe diagonala secundara😕
Singurul lucru care ma incurca este cat face B^n? …pt a calcula cu binomul lui Newton A^n=(B+I_3)^n
Mai omule daca B^2=4*I3 =>B^3=4*B ; B^4=16*I3 ; B^5=16*B.
In general B^(2*k)=4^k*I3 si B^(2*k+1)=4^k*B. Mai mult de atat nu te pot ajuta… te descurci ti-am aratat modelu`…
Probabil am devenit un ”stress” pt d-voastra😆 ..imi cer scuze ca am pus atatea intrebari.