Home/ Intrebari/Q 77554
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei_93
user (0)
Pe: 2012-07-21T17:01:22+03:00 In: In:

teorie determinanti

stiti cumva explicatia formulei:
det(cA)=c^n det(A) , c \in R

Similare

4 raspunsuri

  1. xor_NTG
    maestru (V)

    Esti sigur ca formula e scrisa corect? De ce e n-ul doar in partea dreapta? Conditii pentru n?

    • 0
  2. andrei_93
    user (0)

    tocmai asta e ca nu mai mi-o amintesc corect….
    daca stie cineva…il rog sa posteze un topic care sa cuprinda proprietatile determinantilor…sunt niste formule inetresante din cate imi amintesc dar nu mai am habar de ele…de asta ma intereseaza…multumesc

    • 0
  4. andrei_93
    user (0)

    gata mi-am adus aminte…..n-ul acela este rangul matricei A

    • 0
  5. xor_NTG
    maestru (V)

    Cred ca i-am dat de cap.
    Observatie: acel n nu este rangul matricei, ci dimensiunea acesteia (adica numarul de linii/coloane). Nu am studiat inca rangul unei matrice dar din cate am vazut, e ceva mai complicat – ceva legat de minori (nu sunt sigur daca rangul unei matrice coincide cu dimensiunea acesteia).
    Am gasit aceasta proprietate sub aceasta forma:

        \[ \det \left( {cA} \right) = c^n \det \left( A \right),\,\,c \in R,\,\,A \in M_n \left( R \right) \]

    Demonstratia ei se face prin utilizarea unei alte proprietati a determinantilor, si anume :

    Daca toate elementele unei linii/coloane a unei matrici sunt inmultite cu acelasi numar \alpha, determinantul acesteia este egal cu \alpha inmultit cu determinantul matricei initiale.
    Mai concret:

        \[ \left| {\begin{array} \alpha a & {\alpha b} \\ c & d \\ \end{array}} \right| = \alpha \left| {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right| \]

    Este o proprietate ce poate fi usor verificata, prin calcularea simpla a determinantului.

    Revenim la problema noastra:

    Acel cA, c \in R (argumentul determinantului) inseamna ca toate elementele matricei A sunt inmultite cu acelasi numar c real (scalar).
    Acum demonstratia proprietatii este evidenta: c se afla pe fiecare linie si pe fiecare coloana iar prin utilizarea proprietatii prezentate mai sus, se observa ca acesta „iese” din determinant la puterea egala cu dimensiunea matricei.
    Deci proprietatea de mai sus „face toata treaba”, cum s-ar zice. Imagineaza-ti ca dai factor comun pe c pe fiecare linie sau coloana din determinant. Vei obtine c^{numar linii/coloane} inmultit cu determinantul initial.
    Un exemplu pentru o matrice cu 3 linii/coloane:

        \[ \begin{array}{l} B = \left( {\begin{array} \alpha a & {\alpha b} & {\alpha c} \\ {\alpha d} & {\alpha e} & {\alpha f} \\ {\alpha g} & {\alpha h} & {\alpha i} \\ \end{array}} \right) \in M_3 \left( C \right),\alpha \in R \\ A = \left( {\begin{array} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}} \right)\, \in M_3 \left( C \right) \\ \det \left( B \right) = \det \left( {\alpha A} \right) = \left| {\begin{array} \alpha a & {\alpha b} & {\alpha c} \\ {\alpha d} & {\alpha e} & {\alpha f} \\ {\alpha g} & {\alpha h} & {\alpha i} \\ \end{array}} \right| = \alpha ^3 \left( {aei + bfg + cdh} \right) - \alpha ^3 \left( {ceg + afh + dbi} \right) = \\ = \alpha ^3 \left( {aei + bfg + cdh - ceg - afh - dbi} \right) = \alpha ^3 \det \left( A \right) \\ \\ \\ \end{array} \]

    • 0
Raspunde

Raspunde