Home/ Intrebari/Q 77488
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

mehayoo
Pe: 2012-07-13T17:46:22+03:00 In: In:

[Inductie] Sa se demonstreze ca

Sa se demonstreze ca daca

    \[ n \ge 5 \]

, atunci

    \[ 2^n > n^2 \]

.

La pasul

    \[ P(k) \Rightarrow P(k + 1) \]

m-am gandit sa inmultesc relatia

    \[ 2^n > n^2 \]

cu 2 ca sa am in stanga

    \[ 2^{k + 1} \]

, apoi am trecut totul intr-o parte, adica

    \[ 2^{k + 1} - 2k^2 > 0 \]

si am dat factor comun pe 2 dar nu am facut decat sa ma invart in jurul cozii

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)
  2. mehayoo

    PhantomR wrote: Pentru n=5 avem 2^5>5^2 \Leftrightarrow 32>25, adevărat. Presupunem că pentru un k\in\mathbb{N},k\geq 5 avem 2^k>k^2 si trebuie să demonstrăm că aceasta implică 2^{k+1}>(k+1)^2. Înmultind relatia 2^k>k^2 cu 2 rezultă că 2^{k+1}>2k^2. Asadar, este suficient să mai demonstrăm că 2k^2>(k+1)^2 \Leftrightarrow 2k^2>k^2+2k+1 \Leftrightarrow k^2-2k-1>0 \Leftrightarrow (k-1)^2-2>0 \Leftrightarrow (k-1)^2>2. Dar k\geq 5 \Rightarrow k-1\geq 5-1=4 \Rightarrow (k-1)^2\geq 4^2=16>2, ceea ce încheie pasul de inductie.

    Conform principiului inductiei matematice, \forall n\in\mathbb{N},n\geq 5 avem 2^n>n^2.

    Multumesc mult de tot 😀

  4. PhantomR
    expert (VI)
Raspunde

Raspunde