Salut!
In manualul de matematica din clasa a XI-a, am gasit urmatoarea problema:
Arata ca nu exista matrice cu 2006 linii si 2007 coloane avand toate elementele +1 sau -1, astfel incat produsul elementelor de pe fiecare linie si pe fiecare coloana sa fie egal cu -1.
In primul rand, as vrea sa clarific enuntul (mai exact sa prezint ceea ce am inteles eu):
Cand zice „avand toate elementele +1 sau -1″, se intelege ca matricea poate fi:
![\[ \begin{array} 1 & 1 & 1 & {...} \\ 1 & 1 & 1 & {...} \\ 1 & 1 & 1 & {...} \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b15be63ec64bcba3355dd9bb60fb0689_l3.png "formula matematica")
Ceea ce iese din discutie pentru ca produsul elementelor de pe fiecare linie si coloana este 1, nu -1.
Sau matricea poate fi:
![\[ \left( {\begin{array} { - 1} & { - 1} & { - 1} & {...} \\ { - 1} & { - 1} & { - 1} & {...} \\ { - 1} & { - 1} & { - 1} & {...} \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ \end{array}} \right) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-872128f788a183821a2fe87f254a2092_l3.png "formula matematica")
Varianta ce poate fi luata in calcul deoarece produsul elementelor de pe fiecare coloana este 
de unde rezulta concluzia.
Acesta este modul in care eu inteleg problema.
Pe de alta parte, enuntul problemei s-ar putea referi la o matrice de forma:
![\[ \left( {\begin{array} { - 1} &{ 1} & { - 1} & {...} \\ { - 1} & 1 & 1 & {...} \\ 1 & { - 1} & 1 & {...} \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ \end{array}} \right) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-23d1607b3bdcb018133e3d50c59cec4a_l3.png "formula matematica")
deci la o matrice care contine elemente atat 1 cat si -1, dispuse aleator dar aceasta nu este o varianta eligibila pentru ca din enunt, mai exact din existenta disjunctiei sau reiese faptul ca toate elementele matricei sunt egale cu 1 sau cu -1. In alta ordine de idei, prin analiza ultimei variante, se observa ca problema nu specifica un mod de dispunere a elementelor (de exemplu o dispunere alternativa) ceea ce face imposibila demonstratia, avand in vedere faptul ca elementele pot fi dispuse in [(2006)(2007)]!/[(2006)(2007)-2] moduri.
Voi cum interpretati enuntul problemei?
Multumesc.
Eu cred ca problema cere sa se arate ca nu poti construi o matrice care sa aibe toate elementele de valoare 1 si aceste elemente sa aibe semne , + sau -, asa ca prin inmultirea elementelor de pe orice linie si orice coloana sa obtin -1 , iar matricea sa aibe 2.k linii si 2.k+1 coloane.
Daca matricea ar fi patrata, acest lucru este posibil. Dar daca numarul coloaneloreste cu una in plus, in conditia ca pe aceasta coloanaprodusul elementelor este -1′ atunci vor exista liniipe care produsul elementelor nu poate fi facut -1. (aceasta, pe scurt)
Dar nu sunt convins. Cum se demonstreaza astfel de afirmatii? Vreau sa spun ca din moment ce nu exista o dispunere exacta a numerelor, cum pot demonstra ca nu exista o astfel de matrice?
P.S. Cred ca s-ar putea sa intuiesc ceva: O matrice cu 2k linii si 2k+1 coloane nu are elemente ce pot fi dispuse pe diagonale, prin analogie cu matricea patratica, deci daca am incerca o dispunere a numerelor de -1 pe o astfel de „diagonala”, vom avea o linie sau o coloana care nu respecta conditia. Dar asta e ceva intuitiv, cum demostrez restul? Exista foarte multe moduri de dispunere a elementelor.
Si intuitia logica poate fi o demonstratie (ex.axioma lui Euclid). Te rog sa ma scuzi dragul meu coleg, mi-ai cerut numai , sa spun cum vad eu problem. Si daca voi fi nepoliticos, scuze. Daca iti insusesti ideea mea , incearca tu sa demonstrezi , ceea ce imi ceri mie. Stii? Eu is prof. de fizica.Cu respect . DD.
ok, multumesc.