Home/ Intrebari/Q 77324
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

::Black Diamond::
Pe: 2012-06-22T09:50:42+03:00 In: In:

Algebra- Evaluare Nationala

Buna,
Am intalnit o problema de algebra in culegera Evaluare Nationala 2012 de la Editura pararela45:
a) Determinati multiema A= { x∈Z- {1} | x+3/x-1∈Z}
* x+3/x-1 -> x+3 supra x-1

Nu prea am idee despre cum as putea incepe macar. Poate x-1∈multimii divizorilor lui x-3? Dar nu cred ca are vreun sens…

Multumesc anticipat !

Similare

8 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Buna ziua,

    Pentru ca \frac{x+3}{x-1} \in\mathbb{Z} , avand invedere ca atat numitorul cat si numaratorul sunt intregi, trebuie sa avem x-1|x+3.

    Dar x-1|x-1 (un numar se divide pe el insusi). Stim (sau daca nu stim, gandim) ca daca un numar a divide pe b si pe c, atunci divide si diferenta lor, b-c.

    Asadar, obtinem x-1|(x+3)-(x-1)=x+3-x+1=4. de unde rezulta x-1\in \rm{D}_4, unde cu \rm{D}_4 am notat multimea divizorilor intregi ai lui 4. Va descurcati mai departe?

  2. ::Black Diamond::

    Da, m-am descurcat, dar acum observ ca la subpunctul b) al acestei probleme este aceeasi cerinta, aceleasi numere doar ca in loc de A= { x∈Z- {1} | x+3/x-1∈Z} este B= { x∈Q– {1} | x+3/x-1∈Q} si acum ca multimea difera, v-a influenta rezolvarea cu ceva? Sau se rezolva in acelasi mod ( desi ma cam indoiesc din moment ce rezolvarea va fi la fel ca prima…

    ( Vina mea, trebuia sa postez intregul exercitiu prima data, dar nu mi-am dat seama ca celalat subpunct difera, imi cer scuze)

    Multumesc frumos pentru raspunsul acordat !

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere!

    Din partea mea nu este nicio problema ca nu ati postat de la inceput si subpunctul b).

    Sunteti sigur ca e x\in \mathbb{Q}-\{1\} si \frac{x+3}{x-1} tot in \mathbb{Q}? Nu se cere cumva ca fractia sa fie in \mathbb{Z}?

  5. ::Black Diamond::

    Nu, nu se cere sa fie in Z; m-am uitat din nou peste exercitiu si scrie exact cum am enuntat in postul anterior…
    B = { x ∈ ℚ\{1}| x+3/x-1 ∈ ℚ}

  6. PhantomR
    expert (VI)

    Fractia banuiesc ca e \frac{x+3}{x-1} (puneti paranteze). Atunci, daca intr-adevar asa e, avem x\in\mathbb{Q}-\{1\} ca solutie, pentru ca raportul a doua numere rationale este si el rational.

    Scurta demonstratie: Fie x=\frac{a}{b},a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0. Avem \frac{\frac{a}{b}+3}{\frac{a}{b}-1}=\frac{a+3b}{a-b}. Cum a+3b\in\mathbb{Z} (suma a doua numere intregi este un numar intreg) si a-b\in\mathbb{Z} (din nou, suma a doua numere intregi este un numar intreg) avem \frac{x+3}{x-1}\in\mathbb{Z}.

    NOTA: La primul exercitiu se putea face si altfel (probabil mai usor), adica \frac{x+3}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1} si cum 1\in\mathbb{Z}, avem \frac{x+3}{x-1}\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{4}{x-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x-1\in \rm{D}_4.

  8. edy8
    maestru (V)

    ” wrote:
    a) Determinati multimea A= { x∈Z- {1} | x+3/x-1∈Z}
    * x+3/x-1 -> x+3 supra x-1

    !

    \it{\frac{x+3}{x-1}\in Z \Rightarrow x-1\ |\ x+3 (1)\\\;\\x-1\ |\ x-1 (2)} \\\;\\(1), \ (2) \Rightarrow x-1\ |\ x+3-(x-1) \Rightarrow x-1\ |\ x+3-x+1 \Rightarrow x-1\ |\ 4 \Rightarrow x-1 \in D_4 \Rightarrow x-1 \in \{\pm1, \ \pm2,\ \ \pm4\}\Rightarrow\\\;\\\Rightarrow x-1\ \in \{-4, \ -2, \ -1, \ 1, \ 2, \ 4\}|_{+1} \Rightarrow x\in \{-3,\ -1,\ 0,\ 2,\ 3,\ 5\}\bl \Rightarrow A = \{-3,\ -1,\ 0, \ 2,\ 3\ 5\}

  9. ::Black Diamond::

    Va multumesc foarte mult pentru raspunsuri si ajutorul acordat! :- )
    Acum am inteles cum se rezolva acest tip de exercitii.

  10. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere!

Raspunde

Raspunde