Buna ziua! Am dat de o problema la care stau si ma uit ore in sir si tot nu imi dau seama de unde sa incep. Va rog mult, daca se poate ,sa ma ajutati cu un sfat sau sa imi aratati cum sa incep!
Problema este urmatoarea: „Daca A este aria suprafetei limitata de axa Ox si curba , atunci A este?”………mi se mai dau si niste raspunsuri,dar nu cred ca sunt importante deocamdata, este o problema dintr.un test grila.
Va multumesc!
Aria este ; S=a.b.(pi)/2.
prin definitie , S=I=Integrala(de la (-a) la (+a))[(b/a).(radical din (a^2-x^2)).dx]->{Obs;(g(x)=radical din (a^2-x^2)) are domeniul pe intervalul [-a , +a]si este mai mare ca zero , pentru orice „x” din domeniu. Graficul lui g(x) este deasupra axei OX, deaceea integrala se ia pe tot domeniul lui g(x)}.
Pentru rezolvare se face schimbarea de variabile ; x=a.sin(t) , dx=
a.cos(t).dt , pentru x=a->t=pi/2 si pentru x=-a->t=-pi/2 si se tine seama ca ; 1-(sin(t))^2=(cos(t))^2=(1/2).(1+cos(2.t)) si vom obtine ;
I=(a.b/2).(t+(1/2)sin(2.t))[intre -pi/2 si +pi/2]=a.b.(pi)/2. Intrebari?
Din pacate tot ma cam incurc. Dumneavoastra ati facut substitutia x=sin(t)
unde dt=cos(t), am inteles. Mai departe , incercand sa rezolv si eu exercitiul, am inlocuit in felul urmator : integrala de la -a la a din b/a*radical(a^2-a^2*sin^2(t))*1/cos(t) dt…..(cos(t) l.am inmultit si impartit pentru a ajunge la acel dt).In continuare sub radical am dat factor comun pe a^2 care a iesit de sub radical si s.a simplificat cu a din b/a. Acum mi.a ramas in integrala doar b*radical(1-sin^2(t))*1/acos(t). b si a sunt constante , deci ies din integrala sub forma de b/a, ramanand doar radical(1-sin^2(t))*1/cos(t).
stiu ca radicalul se mai poate scrie si in felul urmator ( sau gresesc…) : (1-sin^2(t))/radical(1-sin^2(t))…. de acum nu mai stiu cum sa continui….Va rog sa ma scuzati pentru raspunsul negativ, in legatura cu intelegerea rezolvarii…
NU dt=cos(t). Eu ti-am scris ;dx=cos(t).dt ,
apoi inlocuesti in integrala initiala si vei avea;
Integrala(de la -pi/2 la +pi/2) din [(b/a).a^2.(cos(t))^2 dt]=integrala(de la -pi/2 la +pi/2) din [(a.b/2).(2.(cos(t))^2).dt]=(a.b/2).integrala(de la -pi/2 la +pi/2) din [(1+cos(2.t)).dt]=(a,b/2).[t+(1/2).sin(2t)]( de la -pi/2 la +pi/2)=(a.b/2).[+pi/2+(1/2).sin(pi)-(-pi/2+(1/2).sin(-pi))=a.b.pi/2 .Trebue sa fii atent.