Ecuatie gradul 2 mai grea

Question

ganton

Pe: 10 iunie 20122012-06-10T16:59:27+03:00 2012-06-10T16:59:27+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Ecuatie gradul 2 mai grea

Să se rezolve ecuaţia de gradul doi cu coeficienţi reali

$Px^2 - \Delta x + S = 0$

Stiind ca $\Delta$ , S si P sunt respectiv discriminantul, suma si produsul radacinilor sale.

Stiu relatiile lui Viete in cazul ecuatiei de gradul doi, dar oricat le-as intoarce pe toate partile mai rau ma afund. (Am scos P=S/P, S=Delta/P dar nu ajung nicaieri) Multumesc

25 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

PhantomR · Answer 1 · 2012-06-10T17:26:47+03:00

PhantomR expert (VI)

2012-06-10T17:26:47+03:00A raspuns pe 10 iunie 2012 la 5:26 PM

$\Delta=(-\Delta)^2-4\cdot PS = \Delta^2-4PS$
$S= -\frac{-\Delta}{P}=\frac{\Delta}{P} \Rightarrow \Delta = PS$
$P=\frac{S}{P} \Rightarrow P^2=S \Leftrightarrow S=P^2$

Inlocuim a doua relatie in prima relatie si rezulta $\Delta=\Delta^2-4\Delta \Rightarrow 0=\Delta^2-5\Delta \Leftrightarrow \Delta(\Delta-5)=0$ . Asadar avem $\Delta=0$ sau $\Delta = 5$ .

Va descurcati mai departe?

- 0
Raspunde

ganton · Answer 2 · 2012-06-10T17:46:43+03:00

Nu prea. Nu inteleg de unde -5 delta acolo. Si pe urma nu stiu ce sa fac ca delta are 2 valori. Imi puteti arata rezolvarea completa va rog mult?

Am rastalmacit atat exercitiul asta ca nici nu cred ca il mai inteleg clar :)).
Am zic ca delta = 0, deci deltaX dispare.

Px^2+ S = 0
Px^2 + P^2 = 0 sunt si P si S = 0 dar as anula toata ecuatia in cazul asta, nu?

Iar daca consider delta = 4 am

Px^2 – 4x + s = 0
si ajung la un
p(x^2+p)=4x

PhantomR · Answer 3 · 2012-06-10T18:23:46+03:00

Aveti $SP=\Delta$ si inlocuiti in $\Delta=\Delta^2-4SP$ , adica in loc de $SP$ puneti $\Delta$ . Rezulta $\Delta =\Delta^2-4\Delta$ si duceti in dreapta ce e in stanga. Ramane $\Delta^2-4\Delta-\Delta = 0 \Leftrightarrow \Delta^2-5\Delta =0 \Leftrightarrow \Delta(\Delta-5)=0$ .

Tinem minte relatiile $\Delta = SP \\ S=P^2$ (puteti citi in postul celalalt de unde provin). Inlocuim in $\Delta=SP$ pe $S=P^2$ si rezulta $\Delta=P^3 \Rightarrow P=\sqrt[3]{\Delta}$ . Revenind apoi la $S=P^2 \Rightarrow S=(\sqrt[3]{\Delta})^2=\sqrt[3]{\Delta^2}$ .
Avem doua cazuri: $\Delta=0$ , cand rezulta $P=0 \\ S=0$ .
$\Delta=5 \Rightarrow P=\sqrt[3]{5} \\ S=\sqrt[3]{25}$ .

Pentru fiecare caz inlocuiti in ecuatie si o rezolvati.

ganton · Answer 4 · 2012-06-10T18:51:44+03:00

ganton

2012-06-10T18:51:44+03:00A raspuns pe 10 iunie 2012 la 6:51 PM

Ma incurcasem prea tare in ea si nu mai vedeam ca primul delta e independent de delta ridicat la patrat – 4Sp.

Am rezolvat ecuatia, am gasit o singura radacina 5/2*rad ordin 3 din 5

- 0
Raspunde

PhantomR · Answer 5 · 2012-06-10T20:21:43+03:00

PhantomR expert (VI)

2012-06-10T20:21:43+03:00A raspuns pe 10 iunie 2012 la 8:21 PM

Eu cred ca l-am luat ca nefiind independent 🙂, adica e acelasi $\Delta$ peste tot unde am scris eu.

In cazul $\Delta=5$ nu ar trebui sa fie doua radacini 😕 ?

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 6 · 2012-06-11T07:03:43+03:00

ganton wrote: Să se rezolve ecuaţia de gradul doi cu coeficienţi reali

$Px^2 - \Delta x + S = 0$

Stiind ca $\Delta$ , S si P sunt respectiv discriminantul, suma si produsul radacinilor sale.

Stiu relatiile lui Viete in cazul ecuatiei de gradul doi, dar oricat le-as intoarce pe toate partile mai rau ma afund. (Am scos P=S/P, S=Delta/P dar nu ajung nicaieri) Multumesc

Din ecuatie rezulta $x_1+x_2=S=\frac{\Delta}{P}$ si $x_1 \cdot x_2=P=\frac{S}{P}$ de unde rezulta ca $P^3=\Delta$ de unde aflam $P$ in functie de $\Delta$ si stiind ca $S=x_1+x_2=\frac{\Delta}{P}$ obtinem o ecuatie de gradul II avand coieficientii in functie de $\Delta$ .Daca se vrea rezolvarea in multimea numerelor reale atunci se pune conditia ca discriminantul acestei ecuatii noi pe care il notam cu $\Delta_1$ trebuie sa respecte conditia $\Delta_1>0$ …….
Conform celor de mai sus rezulta deci ca noua ecuatie este $x^2-\sqrt[3]{\Delta^2} \cdot x+\sqrt[3]{\Delta}=0$ care are aceleasi radacini cu ecuatia $P \cdot x^2-\Delta \cdot x+S=0$ .
Dand valori lui $\Delta$ rezulta radacinile $x_1,x_2$ .De exemplu pentru $\Delta=8$ rezulta din ambele ecuatii aceleasi radacini $x_1=2+\sqrt{2}$ si $x_1=2-\sqrt{2}$ .

Integrator · Answer 7 · 2012-06-11T14:16:50+03:00

PhantomR wrote: Eu cred ca l-am luat ca nefiind independent 🙂, adica e acelasi $\Delta$ peste tot unde am scris eu.

In cazul $\Delta=5$ nu ar trebui sa fie doua radacini 😕 ?

$\Delta$ nu poate fi egal si cu $8$ sau cu $1$ sau chiar cu $-1$ ?

PhantomR · Answer 8 · 2012-06-11T14:30:05+03:00

In cazul $\Delta=8$ avem $S=4$ si $p=2$ , adica ecuatia initiala ar fi $2x^2-8x+4=0$ . Dar aceasta ecuatie are $\Delta=(-8)^2-4\cdot 2 \cdot 4 = 64-32=32 \neq 8$ .

Cred ca ati omis $\Delta=\Delta^2-4SP$ din rezolvare, iar aceasta egalitate restrange numarul de solutii.

Iar cazul $\Delta=-1$ nu cred ca e posibil daca se cer radacini reale, ceea ce implica $\Delta\geq 0$ (radacinile sunt reale si daca $\Delta=0$ , nu trebuie neaparat ca inegalitatea sa fie stricta).

Integrator · Answer 9 · 2012-06-11T15:57:11+03:00

PhantomR wrote: In cazul $\Delta=8$ avem $S=4$ si $p=2$ , adica ecuatia initiala ar fi $2x^2-8x+4=0$ . Dar aceasta ecuatie are $\Delta=(-8)^2-4\cdot 2 \cdot 4 = 64-32=32 \neq 8$ .

Cred ca ati omis $\Delta=\Delta^2-4SP$ din rezolvare, iar aceasta egalitate restrange numarul de solutii.

Iar cazul $\Delta=-1$ nu cred ca e posibil daca se cer radacini reale, ceea ce implica $\Delta\geq 0$ (radacinile sunt reale si daca $\Delta=0$ , nu trebuie neaparat ca inegalitatea sa fie stricta).

Care sunt radacinile ecuatiilor $2x^2-8x+4=0$ si $x^2-4x+2=0$ ?Ecuatia $x^2-4x+2=0$ rezulta din noua ecuatie $x^2-\sqrt[3]{\Delta^2} \cdot x+\sqrt[3]{\Delta}=0$ pentru $\Delta=8$ .Ecuatia $x^2-\sqrt[3]{\Delta^2} \cdot x+\sqrt[3]{\Delta}=0$ are aceleasi radacini cu ecuatia $P \cdot x^2-\Delta \cdot x+S=0$ .Obligatoriu trebuie ca $\Delta_1>0$ .A nu se confunda $\Delta_1$ cu $\Delta$ .Daca $\Delta=0$ rezulta ca $P=0$ adica $S=\frac{0}{0}$ ceea ce inseamna nedeterminare……….Vreau o demonstratie ca ecuatia nu are radacini reale atunci cand $\Delta=-1$ .

PhantomR · Answer 10 · 2012-06-11T16:39:58+03:00

PhantomR expert (VI)

2012-06-11T16:39:58+03:00A raspuns pe 11 iunie 2012 la 4:39 PM

Acel $\Delta$ este discriminantul ecuatiei $Px^2-\Delta x+S=0$ , NU este o simpla notatie. Aceasta probabil clarifica si de ce ecuatia nu are solutii reale pentru $\Delta=-1<0$ .

Cititi enuntul din primul post va rog.

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 11 · 2012-06-12T04:06:20+03:00

PhantomR wrote: Acel $\Delta$ este discriminantul ecuatiei $Px^2-\Delta x+S=0$ , NU este o simpla notatie. Aceasta probabil clarifica si de ce ecuatia nu are solutii reale pentru $\Delta=-1<0$ .

Cititi enuntul din primul post va rog.

Din enunt nu rezulta ca trebuie sa gasesc radacinile reale ale ecuatiei si chiar daca s-ar cere ca acele radacini sa fie reale trebuie sa demonstram in ce conditii aceste radacini sunt reale si una din conditii ca radacinile ecuatiei sa fie reale este ca $\Delta_1>0$ unde $\Delta_1$ este cel calculat de mine…….In enunt se specifica doar ca ecuatia are coieficienti reali si $\Delta=-1$ este un numar real………
Sa facem calculele……..Pentru $\Delta=-1$ rezulta $P=-1$ si $S=1$ adica ecuatia devine $-x^2+x+1=0$ care are radacini reale deoarece $\Delta_1=5$ .Gresesc cumva undeva si nu vad eu unde?

PhantomR · Answer 12 · 2012-06-12T13:04:46+03:00

PhantomR expert (VI)

2012-06-12T13:04:46+03:00A raspuns pe 12 iunie 2012 la 1:04 PM

Ce este acel $\Delta_1$ 😐?

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 13 · 2012-06-13T04:10:43+03:00

PhantomR wrote: Ce este acel $\Delta_1$ 😐?

Repet partial:
„Sa facem calculele……..Pentru $\Delta=-1$ rezulta $P=-1$ si $S=1$ adica ecuatia devine $-x^2+x+1=0$ care are radacini reale deoarece $\Delta_1=5$ .”.Care este discriminantul ecuatiei $-x^2+x+1=0$ adica a ecuatiei $x^2-x-1=0$ ?Raspuns:
Discriminantul este $\Delta_1=5$ .Ecuatia $P \cdot x^2- \Delta \cdot x+S=0$ este echivalenta cu ecuatia $x^2-\sqrt[3]{\Delta^2} \cdot x+\sqrt[3]{\Delta}=0$ .

PhantomR · Answer 14 · 2012-06-13T10:37:38+03:00

Integrator wrote: radacini reale deoarece $\Delta_1=5$ .”.Care este discriminantul ecuatiei $-x^2+x+1=0$

Acel $\Delta_1$ trebuie sa fie egal cu $\Delta$ . In cerinta problemei este definit $\Delta$ ca fiind discriminantul ecuatiei $Px^2-\Delta X+S=0$ (acel $\Delta$ care apare in ecuatie este insusi discriminantul ecuatiei).

Atunci in cazul de mai sus avem $\Delta=-1$ , dar acel $\Delta_1$ este egal cu $5$ , care nu este egal cu $-1$ .

Integrator · Answer 15 · 2012-06-13T12:52:59+03:00

PhantomR wrote: [quote=Integrator]radacini reale deoarece $\Delta_1=5$ .”.Care este discriminantul ecuatiei $-x^2+x+1=0$

Acel $\Delta_1$ trebuie sa fie egal cu $\Delta$ . In cerinta problemei este definit $\Delta$ ca fiind discriminantul ecuatiei $Px^2-\Delta X+S=0$ (acel $\Delta$ care apare in ecuatie este insusi discriminantul ecuatiei).

Atunci in cazul de mai sus avem $\Delta=-1$ , dar acel $\Delta_1$ este egal cu $5$ , care nu este egal cu $-1$ .
A nu se face confuzii!
Problema nu spune decat ca ecuatia are coieficienti reali si nu restrictioneaza natura radacinilor si asta inseamna ca $\Delta$ poate fi pozitiv sau negativ dar nu poate fi egal cu zero din motivele expuse in a treia mea postare.Ca atare nu trebuie sa confundam pe $\Delta_1$ cu $\Delta$ ….
O alta abordare de rezolvare pentru o intelegere mai buna este urmatoarea:
Exista doua ecuatii care au aceleasi radacini si aceste ecuatii sunt $x^2-S \cdot x+P=0$ respectiv $P \cdot x^2- \Delta \cdot x+S=0$ .Care sunt radacinile celor doua ecuatii cu coieficienti reali?Daca cele doua ecuatii au aceleasi radacini atunci ce relatii exista intre coieficientii celor doua ecuatii?Ce rezulta din egalarea radacinilor celor doua ecuatii?Nu cred ca este corect sa se impuna doar solutia particulara corespunzatoare conditiei $\Delta_1=\Delta$ .
Astept raspuns! 🙄

PhantomR · Answer 16 · 2012-06-13T13:49:45+03:00

Ba da, se spune ca are coeficienti reali 😐, air in privinta radacinilor am putea deduce ca sunt reale pentru ca problema este la clasa a IX-a, iar complexele se fac in clasa a X-a din cate stiu.

Cititi ce scrie in primul post din acest topic. Se mentioneaza ca $\Delta$ este discriminantul ecuatiei $Px^2-\Deltax+S=0$ . Deci avem $\Delta=(-\Delta)^2-4\cdot P \cdot S$ .

Integrator · Answer 17 · 2012-06-13T14:18:29+03:00

PhantomR wrote: Ba da, se spune ca are coeficienti reali 😐, air in privinta radacinilor am putea deduce ca sunt reale pentru ca problema este la clasa a IX-a, iar complexele se fac in clasa a X-a din cate stiu.

Cititi ce scrie in primul post din acest topic. Se mentioneaza ca $\Delta$ este discriminantul ecuatiei $Px^2-\Deltax+S=0$ . Deci avem $\Delta=(-\Delta)^2-4\cdot P \cdot S$ .

Problema nu spune decat faptul ca ecuatia are coieficienti reali,dar pentru ca in clasa a IX-a nu se fac numere complexe atunci sunt de-acord ca trebuie ca $\Delta>0$ .Astept raspunsuri la celelate intrebari……Daca se raspunde corect la intrebarile puse de mine atunci se va vedea ca nu trebuie restrictionat $\Delta$ decat de faptul ca $\Delta>0$ …..Astept cu interes raspunsuri!Multumesc!

PhantomR · Answer 18 · 2012-06-13T14:39:59+03:00

Cred ca am omis o parte din textul scris de dumneavoastra. Imi cer iertare! Mi s-a parut, daca nu ma insel, ca ati zis ca nu su se spune ca ecuatia are coeficienti reali. Intr-adevar, despre natura radacinilor nu se spune nimic, dar acest lucru nu prea afecteaza cu absolut nimic (cel putin nu in rezolvarea mea) pentru ca valorile obtinute de mine pentru discriminant au fost $0,5$ , ambele pozitive.

Explicati-mi va rog unde este problema. Este mentionat clar in enunt ca delta este discriminantul. Se aplica acea formula si gata. De unde acel $\Delta_1$ ? Dupa parerea mea dumneavoastra ati rezolvat ecuatia presupunand ca acel $\Delta$ este pur si simplu o notatie fara nicio alta proprietate.

Este probabil adevarat ca acele ecuatii mentionate mai sus au aceleasi radacini, dar nu au acelasi discriminant.

ganton wrote:

Avand in vedere enuntul se impune conditia $\Delta=(-\Delta)^2-4PS$ . Sunteti de acord?

Integrator · Answer 19 · 2012-06-13T16:21:18+03:00

Daca se rezolva cele doua ecuatii scriind formulele bine stiute ale radacinilor si se egaleaza atunci se va vedea ca nu se poate impune doar o solutie particulara…..Nu inteleg de ce nu se vrea a se rezolva cele doua ecuatii scrise de mine????Daca se rezolva cele doua ecuatii echivalente si se egaleaza radacinile atunci se va intelege cine greseste si cine nu.Cert este ca $\Delta$ nu poate fi egal cu zero ba rezulta si o conditie pentru $\Delta$ si anume aceea ca acest discriminat trebuie sa fie astfel incat $\Delta_1>0$ si asta pentru ca $\Delta_1$ este o functie de $\Delta$ …..Rog insistent a se citi cu atentie tot ceea ce am spus in toate postarile mele!Multumesc!
Este ca si cum ecuatia $a+b \cdot x=c+d \cdot y$ , unde $x,y$ sunt necunoscutele,ar avea solutiile care rezulta din egalitatea $b \cdot x=d \cdot y$ netinand cont de influenta numerelor $a,c$ .
Nu sunt de-acord cu impunerea ca $\Delta=\Delta_1$ pentru simplu fapt ca nu este justificata in mod corect ca fiind singura care da radacinile reale ale ecuatiei din enuntul problemei.

PhantomR · Answer 20 · 2012-06-13T17:19:28+03:00

Banuiesc ca nu ajung niciunde asa. Ar trebui probabil sa ma intreb daca dumneavoastra chiar cititi ce va scriu.

Deoarece nu mi se pare ca mai are vreun sens sa continuam, va multumesc pentru raspunsurile acordate. Daca totusi doriti, putem eventual sa continuam conversatia prin MP.

O zi buna!

PhantomR · Answer 21 · 2012-06-14T11:32:19+03:00

PhantomR expert (VI)

2012-06-14T11:32:19+03:00A raspuns pe 14 iunie 2012 la 11:32 AM

V-am lasat un MP.

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 22 · 2012-06-22T13:11:37+03:00

PhantomR wrote: Aveti $SP=\Delta$ si inlocuiti in $\Delta=\Delta^2-4SP$ , adica in loc de $SP$ puneti $\Delta$ . Rezulta $\Delta =\Delta^2-4\Delta$ si duceti in dreapta ce e in stanga. Ramane $\Delta^2-4\Delta-\Delta = 0 \Leftrightarrow \Delta^2-5\Delta =0 \Leftrightarrow \Delta(\Delta-5)=0$ .

Tinem minte relatiile $\Delta = SP \\ S=P^2$ (puteti citi in postul celalalt de unde provin). Inlocuim in $\Delta=SP$ pe $S=P^2$ si rezulta $\Delta=P^3 \Rightarrow P=\sqrt[3]{\Delta}$ . Revenind apoi la $S=P^2 \Rightarrow S=(\sqrt[3]{\Delta})^2=\sqrt[3]{\Delta^2}$ .
Avem doua cazuri: $\Delta=0$ , cand rezulta $P=0 \\ S=0$ .
$\Delta=5 \Rightarrow P=\sqrt[3]{5} \\ S=\sqrt[3]{25}$ .

Pentru fiecare caz inlocuiti in ecuatie si o rezolvati.

Corecta rezolvarea!Doua ecuatii de gradul II care au aceleasi radacini nu au intodeauna acelasi discriminant dar problema spune clar asta……..Nu stiu de ce ma legam doar de faptul ca radacinile celor doua ecuatii echivalente trebuie sa fie egale cand de fapt nu trebuia sa ma gandesc la vreo alta ecuatie echivalenta…….In concluzie trebuie ca $\Delta=\Delta_1$ .Multe scuze! 🙄

PhantomR · Answer 23 · 2012-06-22T14:06:46+03:00

PhantomR expert (VI)

2012-06-22T14:06:46+03:00A raspuns pe 22 iunie 2012 la 2:06 PM

Nu este nevoie sa va cereti scuze, nu e nicio problema! 😀 Sper si eu sa fie ok 🙂.

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 24 · 2012-06-22T14:29:00+03:00

PhantomR wrote: Nu este nevoie sa va cereti scuze, nu e nicio problema! 😀 Sper si eu sa fie ok 🙂.

O fi fost din cauza caldurii prea mari si nu-mi functiona cum trebuie calculatorul biologic……… 🙄 😆

PhantomR · Answer 25 · 2012-06-22T16:05:14+03:00

PhantomR expert (VI)

2012-06-22T16:05:14+03:00A raspuns pe 22 iunie 2012 la 4:05 PM

Haha 😀.

- 0
Raspunde

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Ecuatie gradul 2 mai grea

Similare

25 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul