Home/ Intrebari/Q 77176
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Zeus
veteran (III)
Pe: 2012-06-10T11:10:09+03:00 In: In:

Ecuatie ptr. PhantomR

\rm{Sa se rezolve in R sistemul:\\ x^3+y=3x+4\\ 2y^3+z=6y+6\\ 3z^3+x=9z+8\\

Similare

30 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Doar ca sa fiu sigur, e scris corect?:)

    Multumesc!

  2. edy8
    maestru (V)

    PhantomR wrote: Doar ca sa fiu sigur, e scris corect?:)

    Multumesc!

    …are si solutii intregi :

    x=y=z=2

  4. Zeus
    veteran (III)

    Bineinteles ca e scris corect… da-i bice si rezolva! Uite domnu` edy8 fara sa vrea a ghicit o posibila solutie, poate ma incanta si cu o rezolvare!

  5. Integrator
    maestru (V)

    Zeus wrote: \rm{Sa se rezolve in R sistemul:\\ x^3+y=3x+4\\ 2y^3+z=6y+6\\ 3z^3+x=9z+8\\


    Se observa ca ecuatiile sistemului sunt de gradul III in x,y,z cu termenii liberi y-4,z-6,x-8.Pentru ca aceste ecuatii sa aiba radacini reale este necesar ca discriminantii sa fie mai mici sau egali cu zero.Rezulta astfel conditiile ca 2 \leq y \leq 6 , 2 \leq z \leq 10 , 2 \leq x \leq 14 si se observa ca scotand pe y din prima ecuatie in functie de x , pe z din a doua ecuatie in functie de y si pe x din a treia ecuatie in functie de z se verifica imediat ca singura solutie a sistemului in multimea numerelor reale este x=y=z=2.

  6. Zeus
    veteran (III)

    Nu este adevarat. Problema e de liceu deci nu merge cu discrimanti ptr ecuatii de gradul 3. Cardano nu s-a invatat in liceu! Problema se poate rezolva mult mai simplu… cand o sa se lase pagubas PhantomR voi posta solutia mea!

  8. Integrator
    maestru (V)

    Zeus wrote: Nu este adevarat. Problema e de liceu deci nu merge cu discriminanti ptr ecuatii de gradul 3. Cardano nu s-a invatat in liceu! Problema se poate rezolva mult mai simplu… cand o sa se lase pagubas PhantomR voi posta solutia mea!


    Rationamentul meu este intr-adevar incomplet si asta deoarece acei discriminanti nu neaparat trebuie sa fie simultan de acelasi semn sau egali cu zero……..Pentru cazurile cand acesti discriminanti sunt simultani de acelasi semn (deci si de semn negativ) sau egali cu zero atunci singura solutie este x=y=z=2 si asta se demonstreaza usor…….Mai sap…….Problema este interesanta si as dori sa stiu cine este autorul?Multumesc!
    ––––
    Cand vad ce matematica se face in scoala primara sunt uluit ca in clasa a IX-a nu se face rezolvarea ecuatiilor de gradul III……

  9. Zeus
    veteran (III)

    Autorul problemei e Cristinel Mortici. Problema e din : Matematica pentru concursuri : 600 de probleme … Cristinel Mortici Editura GIL Zalau!

  10. Integrator
    maestru (V)

    Zeus wrote: \rm{Sa se rezolve in R sistemul:\\ x^3+y=3x+4\\ 2y^3+z=6y+6\\ 3z^3+x=9z+8\\


    Se observa o oarecare ciclicitate omogena…..
    Impartim a doua ecuatie prin 2 si a treia ecuatie prin 3 astfel obtinem y^3+\frac{z}{2}-3 \cdot y=3 si respectiv z^3+\frac{x}{3}-3 \cdot z=\frac{8}{3}.Aceste ultime ecuatii se mai scriu:
    y^3+\frac{z}{2}-3 \cdot y+1=4
    z^3+\frac{x}{3}-3 \cdot z+\frac{4}{3}=4.
    Comparand aceste noi ecuatii cu prima ecuatie si tinand cont de omogenitatea ciclicitatii am putea spune in final ca y=x , z=2 \cdot x-2 si respectiv z=x , x=3 \cdot y-4 ceea ce inseamna ca de fapt rezulta x=y=z=2.

  12. Zeus
    veteran (III)

    Nu e vorba de nici o ciclitate omogena. Mai gandeste-te.

  13. Integrator
    maestru (V)

    Mai prasesc……. 😆 Da PhantomR de ce nu zice nimic????!!! 🙄

  14. Zeus
    veteran (III)

    Pai se mai gandeste. Nu-l grabi ca poate se lasa batut si o sa vrei sa te mai gandesti tu dar eu o sa pun solutia 😀.

  16. Integrator
    maestru (V)

    Zeus wrote: \rm{Sa se rezolve in R sistemul:\\ x^3+y=3x+4\\ 2y^3+z=6y+6\\ 3z^3+x=9z+8\\


    Analizand pe rand fiecare ecuatie ca si cand ar fi independente observam ca putem scrie y=f(x) , z=g(y) , x=h(z).Fiecare dintre aceste functii considerate independente au aceiasi valoare minima egala cu 2 pentru x=-1 , y=-1 si respectiv pentru z=-1 iar valorile maxime pentru x=1 , y=1 si respectiv z=1 sunt in ordine 6,10,14 ceea ce ar duce la concluzia ca graficele celor trei functii au un singur punct comun deoarece au acelasi minim pentru acelasi punct de pe abscisa…
    O alta idee ar fi sa scriem ca din primele doua ecuatii obtinem z=g(f(x)) si care introdusa in a treia ecuatie ne-ar da o ecuatie cu necunoscuta x dar aceasta metoda este extrem de greoaie dat fiind gradul mare al ecuatiei….. 🙄

  17. Integrator
    maestru (V)

    Cumse rezolva sistemul? 🙄

  18. Zeus
    veteran (III)

    Cand o sa am permisiunea lui PhantomR o scriu si pe site… Daca vrei iti scriu rezolvarea in MP!

  20. Integrator
    maestru (V)

    Zeus wrote: Cand o sa am permisiunea lui PhantomR o scriu si pe site… Daca vrei iti scriu rezolvarea in MP!

    Vreau!

  21. PhantomR
    expert (VI)

    Banuiesc ca e vora de o substitutie interesanta 😀.

  22. Zeus
    veteran (III)

    N-ash zice asta. Deci te lasi batut… postez solutia?

  24. PhantomR
    expert (VI)

    Nu ma dau batut inca 🙂).

  25. edy8
    maestru (V)

    Zeus wrote: edy8 fara sa vrea a ghicit o posibila solutie!

    După transformări elementare, cele trei ecuatii se inmultesc, obtinând :

    \it{\Large (x-2)(y-2)(z-2)[6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2 + 1] = 0 \Longrightarrow S = \{(2, 2, 2)\}}

  26. Zeus
    veteran (III)

    Foarte bine. Felicitari !

  28. PhantomR
    expert (VI)

    Wow. Intr-adevar, felicitari!

    As vrea totusi sa va rog sa detaliati aceste „transformari elementare”.

  29. Integrator
    maestru (V)

    edy8 wrote: [quote=Zeus] edy8 fara sa vrea a ghicit o posibila solutie!

    După transformări elementare, cele trei ecuatii se inmultesc, obtinând :

    \it{\Large (x-2)(y-2)(z-2)[6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2 + 1] = 0 \Longrightarrow S = \{(2, 2, 2)\}}
    Interesant dar nu inteleg ceva….
    Cum demonstram ca prin inmultirea acelor ecuatii „transformate” obtinem doar o singura solutie reala?Faptul ca intr-adevar inlocuind valorile obtinute in ficare ecuatie a sistemului initial verifica nu inseamna neaparat ca sistemul initial de ecuatii are o singura solutie reala…..
    Din sistemul de ecuatii initial se observa ca fiecare ecuatie este de gradul trei cu o necunoscuta si avand termenul liber o alta necunoscuta care putem spune ca este un parametru…..Astept lamuriri!Multumesc! 🙄

  30. PhantomR
    expert (VI)

    Din acea relatie rezulta ca una dintre x,y,z este egala cu 2, pentru ca 6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2+1\geq 6\cdot 0 +1=1>0, deci acea paranteza nu poate fi nula.

  32. Zeus
    veteran (III)

    A inteles asta PhantomR. El n-a inteles dc e solutie unica… ptr ca in momentul in care inmultesti relatiile pierzi din solutii. Deci atentie! I-am explicat prin MP cum sta treaba!

  33. Integrator
    maestru (V)

    Zeus wrote: A inteles asta PhantomR. El n-a inteles dc e solutie unica… ptr ca in momentul in care inmultesti relatiile pierzi din solutii. Deci atentie! I-am explicat prin MP cum sta treaba!

    Am inteles completarea din MP.Nu mai am ce sa zic eleganta solutie dar cred ca trebuia completata aici cu completarea data pe MP-ul meu………Toata stima!Multumesc mult! 🙄

  34. PhantomR
    expert (VI)

    Zeus wrote: A inteles asta PhantomR. El n-a inteles dc e solutie unica… ptr ca in momentul in care inmultesti relatiile pierzi din solutii. Deci atentie! I-am explicat prin MP cum sta treaba!

    😀

  36. Zeus
    veteran (III)

    Nu inteleg ce doresti PhantomR… fi mai explicit!

  37. PhantomR
    expert (VI)

    edy8 wrote:

    \it{\Large (x-2)(y-2)(z-2)[6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2 + 1] = 0

    🙂.

  38. Zeus
    veteran (III)

    Prima ecuatie se mai poate scrie astfel (x+1)^2*(x-2)=-(y-2)
    A doua ecuatie : 2*(y+1)^2*(y-2)=-(z-2)
    A treia ecuatie : 3*(z+1)^2*(z-2)=-(x-2)
    Le inmultesti pe urma…

  40. PhantomR
    expert (VI)

    Foarte interesant, dar nu mi se par deloc evidente descompunerile Multumesc!

Raspunde

Raspunde