Se considera functia f:(0,infinit)->R,f(x)=ln x si intervalele:
In=[n,n+1],n apartine N fara 0
a)sA se arate ca functiei f i se poate aplica teorema lui Langrange pe intervalul In
b)Sa se aplice teorema lui Langrange fuctiei f pe intervalul In.Daca c apartine In are proprietatea ca f'(c)=f(n+1)-f(n),sa se determine c
c)Sa se arate ca pt orice n apartine N fara zero are loc egalitatea :
1/(n+1)<ln(n+1)-ln n<1/n
d)Sa se demonstreze ca pt oricare n apartine N fara 0 are loc:
1/1+1/2+1/3+…+1/n>ln n
a]. f(x)=ln(x) este o functie continua si derivabila pe intervalul; (0 , +Infinit).
b]. Conf. teoremei lui Lagrange, vom avea, pe subintervalul ;[n , n+1] ;
(f(n+1) – f(n))/(n+1-n)=f ‘(c), unde ; c-apartine intervalului [n , n+1], sau ;ln(n+1) – ln(n)=1/c , sau ; ln[(n+1)/n]=1/c ->c=1/ln[(n+1)/n].
c]. Cum ;n<=c<=n+1 -> 1/n>=1/c>=1/(n+1) si 1/n>=ln(n+1) – ln(n)>=
1/(n+1).
d]. Sa adunam ,inegalitatea din stanga, pentru „n” de la 1 la „n”
…….1/1>=ln(2)-ln(1)+
…..+1/2>=ln(3)-ln(2)+
…..+1/3>=ln(4)-ln(3)+
…………………………..
…..+1/n>=ln(n+1)-ln(n)=1/1+1/2+1/3+……..1/n>=ln(n+1)-ln(1)=ln(n+1)
Gata.