Am cateva probleme care imi dau batai de cap si trebuie sa le rezolv urgent:D
1.Fie ABCD un trapez isoscel cu AB||CD si [AD]=[BC],AB=24 si DC=12.Stiind ca diagonalele trapezului sunt perpendiculare intre ele,sa se calculeze diagonalele,inaltimea si perimetrul trapezului.
2.Fie ABCD un patrulater in care se cunoaste AB=12,AD=12V3,[BC]=[DC]=[BD];BC=24.Se construiesc perpendicularele AE _|_ BD si CF _|_ BD E,F e(BD).Sa se calculeze lungimea segmentului Ef si a diagonalei AC.
Probleme luate din culegerea de clasa a 7 sem 2 Mate 2000+9/10
Multumesc Eugen!
1. Fie O intersectia diagonalelor AC si BD. Fie MN inaltimea trapezului care trece prin O, cu N apartinand lui (DC) si M apartinand lui (AB). Se demonstreaza ca triungiurile OAB si OCD sunt isoscele, deci (OA)=(OB) si (OC)=(OD). Dar unghiurile COD si AOB sunt de 90 de grade. Rezulta ca triunghiurile OCN si OMB sunt dreptunghice isoscele, deci ON=CN si OM=BM, deci MN=(AB+CD)/2, deci MN=18.
Fie DP si CQ inaltimile trapezului duse din D respectiv C.
PQ=DC, deci AP=BQ=(AB-PQ)/2=6.
Apoi, din teorema lui Pitagora in triunghiul BDP, rezulta ca BD^2=DP^2 + BP^2 (unde semnul ^ inseamna „la puterea”).
Deci BD^2=18^2 + 18^2
Apoi, din teorema lui Pitagora in triunghiul DPA, rezulta ca
AD^2=DP^2 + AP^2=18^2 + 6^2
2. Presupun ca notatia ta: „AD=12V3” inseamna „AD=12,3”.
Lucram in triunghiul ABD in care se cunosc AB=12, AD=12,3 si BD=24.
Notam pe BE=x, deci rezulta ca DE=24-x
In triunghiurile ABE si ADE se scrie teorema lui Pitagora pentru cateta AE:
AE^2=AB^2-BE^2=144-x^2
AE^2=AD^2-DE^2=151.29 – (24-x)^2
Din cele doua relatii rezulta ca:
144-x^2=151.29 – (24-x)^2 Din acesta ecuatie se scoate x.
Din triunghiul BCD, fiind echilateral, se scoate BE=DE=12
Deci EF=BF-x
Pentru calcularea diagonalei (AC) se noteaza cu O intersectia diagonalelor patrulaterului.
Triunghiurile AEO si CFO sunt asemenea, rezulta
AE/FC=OE/OF
Dar OE+OF=EF
Din acest sistem se scot AO si OC, deci rezulta AC.