Daca n este un nr.natural, notam S(n) suma cifrelor sale. Aratati ca, daca a este nr. natural cu 2011 cifre, divizibil cu 9, atunci numarul S(S(S(a))) este patrat perfect.
S3(S2(S1(a)))
S1(a)=x*M9
S2( S1(a) )= S2(x*M9)= x*3*M3
Exista cel putin un nr y care sa verifice relatia: y*3=M3
S3(x*3*M3)=x*3*y*3
Cum pot arata ca x=y ca sa pot demonstra ca este patrat perfect? Sau se face altfel????????????
Ca sa fie patrat perfect ar trebui sa ajung la forma: (2k+1)^2*9=2k^2+1*9, unde k=2
Printre cele 2011 cifre ale numarului a ar trebui sa existe obligatoriu cifrele 2 si 1.
Presupunem, prin absurd, ca numarul a poate fi de forma a=8000…0001 (cifra 0 de 2009 ori) sau a=90000…000 (cifra 0 de 2010 ori)
Daca a e divizibi cu 9 exista cel putin o cifra egala cu 9. Deci putem spune ca S(a)=2k+1=M9
S1(a)=2k+1
S2(S1(a) )= S2(2k+1)=2k+1
S3(S2)=S3(2k+1)=2k+1
Cum 2k+1=M9 =›2k+1=9p
Pt p=1 =›k=4 =2^2
=›2*2^2+1^2=patrat perfect
Criteriul de divizibilitate cu 9 : Un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.
a=M9 rezulta S(a)=M9 rezulta S(S(a)=M9 rezulta S(S(S(a)))=M9
Pentru a=99…9 de 2011 ori rezulta S(a) maxim=9*2011=18099 rezulta S(a)<=18099
Pentru S(a)=9999 se obtine S(S(a)) maxim=9*4=36 rezulta S(S(a)) apartine {9,18,27,36} rezulta S(S(S(a)))=9=1+8=2+7=3+6=3^2
Se poate generaliza astfel?
Daca a este divizibil cu 9, atunci a=M9 =› S(a)=M9 =›S(S(a))=M9 =› S(S(S(a)))=M9
Numarul a poate fi:
I.) de forma M9=9, caz in care
S(S(S(a)))=9=3^2
II.) sau o suma de forma M9+9, caz in care
S(S(S(a))=M9+9=M9+3^2=(M9+3)^2
–––
Am folosit formula propusa „undeva” de ADMIN: (M9+3)^2=(M9+3)(M9+3)=M9*M9 + 3*M9 + M9*3 + 3^2=M9+3^2