Home/ Intrebari/Q 75421
Urmator
In Process
LORUXY
user (0)
Pe: 2012-01-24T14:46:26+02:00 In: In:

probleme olimpiada-algebra

1)Aratati ca: (x+y)(y+z)(z+x)>sau = 8xyz, oricare ar fi x,y,z>sau egali cu 0.
2) Aratati ca :x^2+y^2+z^2<2(xy+xz+yz), pt orice x,y,z care reprezinta lungimile laturilor unui triunghi.

Similare

4 raspunsuri

  1. user (0)

    1)
    x+y\geq 2 \sqrt{x\cdot y}
    y+z\geq 2 \sqrt{y\cdot z}
    z+x\geq 2 \sqrt{z\cdot x},
    Inmultim relatiile si obtinem (x+y)\cdot (y+z)\cdot (z+x)\geq 8 \sqrt{x^2\cdot y^2\cdot z^2}
    Deci (x+y)\cdot (y+z)\cdot (z+x)\geq 8\cdot x\cdot y\cdot z

    • 0
  2. maestru (V)

    LORUXY wrote: 1)Aratati ca: (x+y)(y+z)(z+x)>sau = 8xyz, oricare ar fi x,y,z>sau egali cu 0.
    2) Aratati ca :x^2+y^2+z^2<2(xy+xz+yz), pt orice x,y,z care reprezinta lungimile laturilor unui triunghi.


    2) Relatia din enunt este echivalenta cu
    x2-2xy+y^2+z^2-xz-yz<0 ceea ce este echivalent cu
    (x-y)^2+z^2-2(x+y)z<0 (1)

    Pe de alta parte avem ca modulul difrentei a doua laturi ale unui triunghi este strict mai mic decat a treia si deci, prin ridicare la patrat avem ca
    (x-y)^2<z^2 (2)
    iar x+y>z>0 si deci
    2(x+y)z>2z^2 (3)

    Din (2) si (3) rezulta relatia (1) care este echivalenta cu enuntul

    • 0
  4. maestru (V)

    LORUXY wrote:
    2) Aratati ca :x^2+y^2+z^2<2(xy+xz+yz), pt orice x,y,z care reprezinta lungimile laturilor unui triunghi.

    \rm{x, y, z sunt lungimile laturilor unui triunghi, atunci :\\\;\\\{z>|x-y|\Rightarrow z^2>|x-y|^2\Rightarrow z^2>(x-y)^2\Rightarrow z^2>x^2+y^2-2xy (1)\\x>|y-z|\Rightarrow x^2>|y-z|^2\Rightarrow x^2>(y-z)^2\Rightarrow x^2>y^2+z^2-2yz (2)\\y>|z-x|\Rightarrow y^2>|z-x|^2\Rightarrow y^2>(z-x)^2\Rightarrow y^2>z^2+x^2-2zx (3)}

    \rm{(1), (2), (3)\Rightarrow x^2+y^2+z^2>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\Rightarrow -x^2-y^2-z^2>-2xy-2yz-2zx|_{\cdot (-1)}\Rightarrow\\\Rightarrow x^2+y^2+z^2<2xy+2yz+2zx\Rightarrow x^2+y^2+z^2<2(xy+yz+zx).}

    • 0
  5. user (0)

    x<y+z |*x => x^2<xy+xz si analoagele. Prin adunare rezulta concluzia.

    • 0
Raspunde

Raspunde