Home/ Intrebari/Q 75387
Urmator
In Process
gefest
user (0)
Pe: 2012-01-22T10:37:32+02:00 In: In:

divergenta sirului

Cum se demonstreaza ca sirul <\sin n> este divergent? Presupun ca exista limita a si fie \epsilon=a, a>0 (un caz):

\forall n(n>=N\to0<\sin n<2a)

Pentru N mai departe am asa 2\pi k<N<\pi+2\pi k. Iar acum nu mai stiu.

Similare

11 raspunsuri

  1. maestru (V)

    gefest wrote: Cum se demonstreaza ca sirul <\sin n> este divergent? Presupun ca exista limita a si fie \epsilon=a, a>0 (un caz):

    \forall n(n>=N\to0<\sin n<a)

    Pentru N mai departe am asa 2\pi<N<\pi+2\pi k. Iar acum nu mai stiu.


    Prespunem prin absurd ca sirul ar fi convergent
    Avem ca exista o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervale de forma
    [2k*pi; (2k+1)*pi) si pentrucare sin n ia valori pozitive si o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervalul de forma
    [(2k+1)*pi; (2k+2)*pi) pentru care sin n ia valori negative.
    Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

    Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
    2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
    Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0 si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
    Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
    Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

    • 0
  2. user (0)

    Bogdan Stanoiu wrote: [quote=gefest]Cum se demonstreaza ca sirul <\sin n> este divergent? Presupun ca exista limita a si fie \epsilon=a, a>0 (un caz):

    \forall n(n>=N\to0<\sin n<a)

    Pentru N mai departe am asa 2\pi<N<\pi+2\pi k. Iar acum nu mai stiu.


    Prespunem prin absurd ca sirul ar fi convergent
    Avem ca exista o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervale de forma
    [2k*pi; (2k+1)*pi) si pentrucare sin n ia valori pozitive si o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervalul de forma
    [(2k+1)*pi; (2k+2)*pi) pentru care sin n ia valori negative.
    Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

    Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
    2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
    Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0

    N-am inteles despre subsir. Mai departe n, daca-i natural, poate fi egalat cu acea expresie?.

    Bogdan Stanoiu wrote: si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
    Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
    Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

    • 0
  4. user (0)

    Ma gindeam si la asa o propozitie: „Daca \sin n>0, \sin(n+1)>0 si \sin(n+2)>0, atunci \sin(n+3)<0.”

    • 0
  5. user (0)

    Am inteles n=…-y(n). Dar inca n-am prins firul: cum se ajunge la -sin1?

    • 0
  6. maestru (V)

    gefest wrote: [quote=Bogdan Stanoiu][quote=gefest]Cum se demonstreaza ca sirul <\sin n> este divergent? Presupun ca exista limita a si fie \epsilon=a, a>0 (un caz):

    \forall n(n>=N\to0<\sin n<a)

    Pentru N mai departe am asa 2\pi<N<\pi+2\pi k. Iar acum nu mai stiu.


    Prespunem prin absurd ca sirul ar fi convergent
    Avem ca exista o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervale de forma
    [2k*pi; (2k+1)*pi) si pentrucare sin n ia valori pozitive si o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervalul de forma
    [(2k+1)*pi; (2k+2)*pi) pentru care sin n ia valori negative.
    Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

    Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
    2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
    Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0

    N-am inteles despre subsir. Mai departe n, daca-i natural, poate fi egalat cu acea expresie?.

    Bogdan Stanoiu wrote: si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
    Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
    Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

    Exista o infinitate de valori n pentru care n se afla intr-un interval de forma (2k*pi;(2k+1)*pi) iar n+1 se gaseste in intervalul
    ((2k+1)*pi;(2k+2)*pi). Luam subsirul determinat de indicii n cu aceasta porpietate si sirul determinat de indicii obtinuti prin adaugarea unei unitati la acesti indici

    • 0
  8. user (0)

    Intre timp am gasit urmatoarea prelungire la ce am scris mai sus.
    Propozitie. Daca \sin n>0 si \sin(n+2)>0, atunci \sin(n+4)<0.
    Demonstratie. Folosind formula sinusului de suma, pe rind, la \sin(n+2) si \sin(n+4).
    Dar nu ajuta mai la nimic.

    • 0
  9. user (0)

    \rm{ sin(x)->a ; sin(2x)->a ; cos(x)->sqrt{1-a^2} ; cos(2x)->sqrt{1-a^2}\\ a\in [-1,1]. sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) =>a=2*a*sqrt{1-a^2} => a\in \{\frac{-sqrt{3}}{2},\frac{sqrt{3}}{2}\}.\\ cos(2x)=(cos(x))^2-(sin(x))^2=>sqrt{1-a^2}=1-a^2-a^2 =>sqrt{1-a^2}=1-2*a^2\\ Contradictie. a^2\leq \frac{1}{2}

    • 0
  10. user (0)

    Blaugranas wrote: Contradictie. a^2\leq \frac{1}{2}

    Acest lucru nu-l inteleg. Daca peste tot este egalitate de unde inegalitatea?

    • 0
  12. user (0)

    \rm{sqrt{1-a^2}\geq 0 =>1-2*a^2\geq 0 de aici =>a^2\leq \frac{1}{2} dar noi aveam alte solutii, de unde contradictia.

    • 0
  13. user (0)

    Multumesc mult. Am inteles si-mi place.

    • 0
  14. user (0)

    Bogdan Stanoiu wrote:
    Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

    Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
    2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
    Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0 si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
    Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
    Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

    Sa vad daca am inteles.
    x(n) poate fi scris ca \sin\left(n_k\right)?

    y(n) tinde la zero pentru ca \sin\left(n_k\right) tinde la zero, adica punctele de pe graficul lui sinus se apropie din ce in ce mai mult de punctul (2k\pi+\pi,\ 0)?

    Atunci:
    \sin(n+1)=\sin(2k\pi+\pi+z(n))=-\sin(z(n))=-\sin(1-y(n))\to -\sin 1

    \sin n=\sin(2k\pi+\pi-y(n))=\sin(y(n))\to 0

    • 0
Raspunde

Raspunde