divergenta sirului

Question

gefest

Pe: 22 ianuarie 20122012-01-22T10:37:32+02:00 2012-01-22T10:37:32+02:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

divergenta sirului

Cum se demonstreaza ca sirul $<\sin n>$ este divergent? Presupun ca exista limita $a$ si fie $\epsilon=a$ , $a>0$ (un caz):

$\forall n(n>=N\to0<\sin n<2a)$

Pentru $N$ mai departe am asa $2\pi k<N<\pi+2\pi k$ . Iar acum nu mai stiu.

11 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Bogdan Stanoiu · Answer 1 · 2012-01-22T11:39:26+02:00

gefest wrote: Cum se demonstreaza ca sirul $<\sin n>$ este divergent? Presupun ca exista limita $a$ si fie $\epsilon=a$ , $a>0$ (un caz):

$\forall n(n>=N\to0<\sin n<a)$

Pentru $N$ mai departe am asa $2\pi<N<\pi+2\pi k$ . Iar acum nu mai stiu.

Prespunem prin absurd ca sirul ar fi convergent
Avem ca exista o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervale de forma
[2k*pi; (2k+1)*pi) si pentrucare sin n ia valori pozitive si o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervalul de forma
[(2k+1)*pi; (2k+2)*pi) pentru care sin n ia valori negative.
Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0 si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

gefest · Answer 2 · 2012-01-22T14:28:00+02:00

Bogdan Stanoiu wrote: [quote=gefest]Cum se demonstreaza ca sirul $<\sin n>$ este divergent? Presupun ca exista limita $a$ si fie $\epsilon=a$ , $a>0$ (un caz):

$\forall n(n>=N\to0<\sin n<a)$

Pentru $N$ mai departe am asa $2\pi<N<\pi+2\pi k$ . Iar acum nu mai stiu.

Prespunem prin absurd ca sirul ar fi convergent
Avem ca exista o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervale de forma
[2k*pi; (2k+1)*pi) si pentrucare sin n ia valori pozitive si o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervalul de forma
[(2k+1)*pi; (2k+2)*pi) pentru care sin n ia valori negative.
Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0

N-am inteles despre subsir. Mai departe n, daca-i natural, poate fi egalat cu acea expresie?.

Bogdan Stanoiu wrote: si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

gefest · Answer 3 · 2012-01-22T14:41:17+02:00

gefest

2012-01-22T14:41:17+02:00A raspuns pe 22 ianuarie 2012 la 2:41 PM

Ma gindeam si la asa o propozitie: „Daca $\sin n>0$ , $\sin(n+1)>0$ si $\sin(n+2)>0$ , atunci $\sin(n+3)<0$ .”

- 0
Raspunde

gefest · Answer 4 · 2012-01-22T20:00:09+02:00

gefest

2012-01-22T20:00:09+02:00A raspuns pe 22 ianuarie 2012 la 8:00 PM

Am inteles n=…-y(n). Dar inca n-am prins firul: cum se ajunge la -sin1?

- 0
Raspunde

Bogdan Stanoiu · Answer 5 · 2012-01-23T06:37:07+02:00

gefest wrote: [quote=Bogdan Stanoiu][quote=gefest]Cum se demonstreaza ca sirul $<\sin n>$ este divergent? Presupun ca exista limita $a$ si fie $\epsilon=a$ , $a>0$ (un caz):

$\forall n(n>=N\to0<\sin n<a)$

Pentru $N$ mai departe am asa $2\pi<N<\pi+2\pi k$ . Iar acum nu mai stiu.

Prespunem prin absurd ca sirul ar fi convergent
Avem ca exista o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervale de forma
[2k*pi; (2k+1)*pi) si pentrucare sin n ia valori pozitive si o infinitate de valori naturale n care se gasesc in intervalul de forma
[(2k+1)*pi; (2k+2)*pi) pentru care sin n ia valori negative.
Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0

N-am inteles despre subsir. Mai departe n, daca-i natural, poate fi egalat cu acea expresie?.

Bogdan Stanoiu wrote: si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

Exista o infinitate de valori n pentru care n se afla intr-un interval de forma (2k*pi;(2k+1)*pi) iar n+1 se gaseste in intervalul
((2k+1)*pi;(2k+2)*pi). Luam subsirul determinat de indicii n cu aceasta porpietate si sirul determinat de indicii obtinuti prin adaugarea unei unitati la acesti indici

gefest · Answer 6 · 2012-01-23T11:28:13+02:00

gefest

2012-01-23T11:28:13+02:00A raspuns pe 23 ianuarie 2012 la 11:28 AM

Intre timp am gasit urmatoarea prelungire la ce am scris mai sus.
Propozitie. Daca $\sin n>0$ si $\sin(n+2)>0$ , atunci $\sin(n+4)<0$ .
Demonstratie. Folosind formula sinusului de suma, pe rind, la $\sin(n+2)$ si $\sin(n+4)$ .
Dar nu ajuta mai la nimic.

- 0
Raspunde

Anonymous · Answer 7 · 2012-01-23T11:48:55+02:00

Anonymous

2012-01-23T11:48:55+02:00A raspuns pe 23 ianuarie 2012 la 11:48 AM

$\rm{ sin(x)->a ; sin(2x)->a ; cos(x)->sqrt{1-a^2} ; cos(2x)->sqrt{1-a^2}\\ a\in [-1,1]. sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) =>a=2*a*sqrt{1-a^2} => a\in \{\frac{-sqrt{3}}{2},\frac{sqrt{3}}{2}\}.\\ cos(2x)=(cos(x))^2-(sin(x))^2=>sqrt{1-a^2}=1-a^2-a^2 =>sqrt{1-a^2}=1-2*a^2\\ Contradictie. a^2\leq \frac{1}{2}$

- 0
Raspunde

gefest · Answer 8 · 2012-01-24T17:21:50+02:00

gefest

2012-01-24T17:21:50+02:00A raspuns pe 24 ianuarie 2012 la 5:21 PM

Blaugranas wrote: $Contradictie. a^2\leq \frac{1}{2}$

Acest lucru nu-l inteleg. Daca peste tot este egalitate de unde inegalitatea?

- 0
Raspunde

Anonymous · Answer 9 · 2012-01-24T18:19:35+02:00

Anonymous

2012-01-24T18:19:35+02:00A raspuns pe 24 ianuarie 2012 la 6:19 PM

$\rm{sqrt{1-a^2}\geq 0 =>1-2*a^2\geq 0 de aici =>a^2\leq \frac{1}{2} dar noi aveam alte solutii, de unde contradictia.$

- 0
Raspunde

gefest · Answer 10 · 2012-01-24T21:33:49+02:00

gefest

2012-01-24T21:33:49+02:00A raspuns pe 24 ianuarie 2012 la 9:33 PM

Multumesc mult. Am inteles si-mi place.

- 0
Raspunde

gefest · Answer 11 · 2012-01-25T22:27:04+02:00

Bogdan Stanoiu wrote:
Deci daca ar fi converegent, singura limita pe care ar putea sa o aiba sirul din enunt ar fi 0.

Luam valorile n pentru care exsita k natural astfel incat
2k*pi<n<(2k+1)*pi<n+1<(2k+2)*pi
Rezulta ca subsirul(x(n)) determinat de incdicii cu aceste valori trebuie sa tinda la 0 si ca urmare n=(2k+1)*pi-y(n) cu y(n) tinzand la 0
Rezulta ca n+1=(2k+1)*pi+1-y(n)=(2k+1)*pi+z(n) cu z(n) tinzand la 1 si ca urmare isrul (x(n+1)) determinat de valorile cu porprietatea de mai sus tinde la -sin 1
Deci am obtinut doua subsiruri care au limite diferite, contradictie.

Sa vad daca am inteles.
$x(n)$ poate fi scris ca $\sin\left(n_k\right)$ ?

$y(n)$ tinde la zero pentru ca $\sin\left(n_k\right)$ tinde la zero, adica punctele de pe graficul lui sinus se apropie din ce in ce mai mult de punctul $(2k\pi+\pi,\ 0)$ ?

Atunci:
$\sin(n+1)=\sin(2k\pi+\pi+z(n))=-\sin(z(n))=-\sin(1-y(n))\to -\sin 1$

$\sin n=\sin(2k\pi+\pi-y(n))=\sin(y(n))\to 0$

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

divergenta sirului

Similare

11 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul