Pana acuma am gasit:
13^0=1
13^1=13
13^2=169
13^3=2197
13^4=28561
13^5=371293
si:
0^4=0
1^4=1
2^4=16
3^4=81
4^4=256
5^4=625
6^4=1296
7^4=2401
8^4=4096
9^4=6561
10^4=10 000
Ma pot ajuta aceste numere?
Eu am incercat sa le iau pe cazuri…
Cazul 1) n=0 => x si y „nu exista”
Cazul 2) n=1 => x si y=”nu exista”
Si acuma vine cazul 3 in care n=2,adica 13^2=169 dar nici asa nu merge ca daca si x si y ar fi egale cu 3 ar fi prea mici…si nu merge altfel…
Cazul 4) n=3,adica 13^3=2197,iar de aici merge!
Asa se rezolva problema?
Daca va ajuta cu ceva, ajutor pentru ecuatia in numere intregi:
Fie n>0 natural si x;y intregi astfel incat x^4+y^4=13^n
Caz I
Daca x si y sunt prime intre ele rezulta ca x si y nu se divid cu 13 si deci
x^4 si y^4 pot lua resturile 1;3;9 la impartirea cu 13 si ca urmare
x^4+y^4 poate lua resturile 2;4;5;6;10;12 care nu se divide cu 13 si ca urmare in acest caz nu avem solutii
Caz II
Daca x si y nu sunt prime intre ele rezulta ca x si y se divid cu 13 , deci
x=13a y=13b si
a^4+b^4=13^(n-4) daca a si b sunt prime intre ele , stop, ne intoarcem la cazul I si deci nu avem solutii.
Daca a si b nu sunt prime intre ele continuand procedeul anterior mai reducem exponentul lui 13 din membrul drept cu 4 unitati.
Fiind vorba de un exponent natural nu putem face decat un numar finit de astfel de pasi si ca urmare pana la urma tot ajungem in membrul stang la doua baze prime intre ele/Cazul I
Deci, daca n>0 nu avem solutii
Daca n=0 rezulta x^4+y^4=1 cu solutiile date de egalitatile de multimi
{x;y}={0;1};{x;y}={-1;0}
Am urmatoarea intrebare: se poate inlocui 13 cu un numar prim de forma 8k+5 generalizand astfel problema ?
Problema se rezolva in multimea numerelor intregi!!
Nu-i nicio problema. Daca n este intreg strict negativ atunci x^4+y^4 este numar intreg iar 13^n nu este numar intreg, deci nu putem avea solutii.
Deci solutia data de mine este valabila.
Intr-adevar, problema se poate generaliza in sensul in care daca p este un numar prim de forma 8k+5 atunci singurele solutii intregi ale ecuatiei
x^4+y^4=p^n sunt date de egalitatile de n=0 si de multimi {x;y}={0;1} si
{x;y}={-1;0}.
Mai mult, daca m>1 este un numar natural iar
p este un numar prim de forma
k*2^m+2^(m-1)+1 atunci singurele solutii intregi ale ecuatiei
x^(2^(m-1))+y^(2^(m-1))=p^n sunt date de n=0 si de egalitatile de multimi {x;y}={0;1} si {x;y}={-1;0}
De unde ai luat problema ?
De unde ai luat problema ?
Pai de la tema…doamna profesoara ne da aproape in fiecare zi cate o problema sa vada cat de buni suntem(zice ca poate sa ne ajute oricine) pentru ca sunt probleme de olimpiada(zice ea) si ar vrea sa le invatam..ca poate poate merg si eu la un concurs mai important🙂