1. Pentru fiecare număr real α notăm A(α) matricea pătratică de ordinul 2 cu elementele pe linii : cos α, -sin α, sin α, cos α. Demonstraţi că :
a. A(α)·A(β) = A(α+β) pentru orice α,β din R.
b. Argumentaţi existenţa inversei lui A(α), pentru α din R.
2. Se consideră un poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de rază 1 cu vârfurile Ak(xk,yk) pentru k=1,2, …,n.
a. Scrie forma şirurilor (xp) şi (yp).
b. Calculează lungimea laturii poligonului.
c. Calculează perimetrul poligonului şi limita perimetrului când n tinde la ∞.
1a]. Fa tu inmultirea celor 2 matrici si tine seama ca ; cos(a).cos(b)-
sin(a).sin(b)=cos(a+b) si sin(a).cos(b)+sin(b).cos(a)=sin(a+b), vei obtine ca; A(a).A(b)=A(a+b).
b]. Determinantul matrcii A(a)=1 ,deci matricea are inversa . Altfel, se vede ca ; A(a).A(-a)=A(a-a)=A(0)=I2- matricea unitatede ordinul 2, deci
[A(a)]^(-1)=A(-a). Acelasi lucru vei obtine daca deduci , clasic , pe
[A(a)]^(-1).
2]. Fie ecuatia, in complex; Z^n=1=cos(2.k(pi))+ i .sin(2.k(pi)) ale carei solutii sunt ; Zk=cos(2.k(pi)/n)+ i .sin(2.k.(pi)/n), unde k={1 , 2 , 3.. , n}.
Reprezentand pe Zk , in planul complex, vom obtine varfurile unui poligon regulat cu „n” laturi , inscris intr-un cerc de raza R=1 (modulul lui Zk=1).Peste planul complex, sa suprapunem un plan cartezian XOY, ale carui axe sa coincida cu axele planului complex – cu axa rela si respectiv, cu axa imaginara. In acest caz , coordonatele unui varf „k” , al poligonului , vor fi ; Ak(cos(2.k.(pi)/n) , sin(2.k.(pi)/n)) . Lungimea laturii
AkA(k+1)=Ln va fi ; (Ln)^2=(cos(2.k.(pi)/n) – cos(2.(k+1).(pi)/n))^2+(sin(2.k.(pi)/n) – sin(2.(k+1).(pi)/n))^2=2-2.cos(2.(pi)/n)=4.[sin((pi)/n)]^2. Deci Ln=2.sin((pi)/n). Lim(n->infinit) din [n.Ln]=lim(n->infinit) din [2.n.sin((pi)/n)]=lim(n->infinit) din [2.(pi).sin((pi)/n)/((pi)/n)]=2(pi).1-lungimea cercului, de raza R=1, in care s-a inscris poligonul cu „n” laturi , (Obs. In calculul lui Ln ,am tinut seama de clasicele formula trigonometrice)
bravo,tocmai ai demonstrat folosind analiza matematica ,ca
e lungimea cercului de raza R.
e irational
Poate gasim o demonstratie in care sa vedem ca
Domnule Munteanu , nu cred ca merit nici un „bravo „indiferent in ce sens imi este adresat. Va promit ca voi incerca sa va demonstrez ca (pi) este un numar irational (in viziunea mea). Cu respect . DD