Home/ Intrebari/Q 74057
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

parintele
Pe: 2011-10-21T16:15:09+03:00 In: In:

Inegalitati

As dori sa ma ajute cineva cu rezolvarea acestor doua inegalitati. Multumesc!
Imi cer scuze pentru ” mesajul cifrat ” din postul anterior si revin .

1.Daca a,b,c>0 si abc = 1

    \[ \frac{{b^2 + c^2 }}{a} + \frac{{c^2 + a^2 }}{b} + \frac{{a^2 + b^2 }}{c} \ge a + b + c + 3 \]

2.Sa se afle numerele x,y,z ϵ R care verifica inegalitatea :

    \[ 2x^2 + 4xy + 4y^2 - 4x + \sqrt[3]{{z^2 - 4z + 12}} + 2 \le 0 \]

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    2. 2x^2 + 4xy + 4y^2 - 4x + \sqrt[3]{{z^2 - 4z + 12}} + 2 =(x+2y)^2+(x-2)^2+\sqrt[3]{(z-2)^2+8}-2 \geq 0+0+ \sqrt[3]{0+8}-2=2-2=0

    S-a folosit faptul ca a^2 \geq 0 , \forall a\in\mathbb{R}.

    Avand in vedere relatia din enunt, obtinem egalitate, adica inegalitatile \begin{cases} (x+2y)^2\geq 0 \\ (x-2)^2 \geq 0 \\ (z-2)^2=0 \end{cases} devin egalitati \Rightarrow \begin{cases} x+2y=0 \\ x-2=0 \Rightarrow x=2\\ z-2=0 \Rightarrow z=2 \end{cases} \Rightarrow y=-1.

    Solutia este deci: (x,y,z)=\{ (2,-1,2) \}.

    1. Rescriem membrul stang astfel: \frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{b} +\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}. Din inegalitatea lui Titu Andreescu (se poate demonstra folosind inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz, iar aceasta demonstratie o puteti gasi aici: ): \frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{b} +\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c} \geq \frac{(b+c+c+a+a+b)^2}{a+a+b+b+c+c}=\frac{4(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = 2(a+b+c). Mai ramane deci de demonstrat ca: 2(a+b+c) \geq a+b+c+3 \Leftrightarrow a+b+c \geq 3. Dar din inegalitatea dintre media geometrica si cea aritmetica avem: \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{1}=1 \Rightarrow a+b+c\geq 3.

    Egalitatea are loc daca si numai daca a=b=c=1.

  2. parintele

    Multumesc PhantomR si numai bine !

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere!:) Sper sa va fi fost de ajutor!

Raspunde

Raspunde