Home/ Intrebari/Q 74034
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Integrator
maestru (V)
Pe: 2011-10-20T06:41:11+03:00 In: In:

Un sir

Sa se gaseasca termenul general al sirului 1,3,6,10,………

Similare

5 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Sa notam termenii sirului: (a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}. Observam relatia de recurenta: a_1=1 \\ a_{n}=a_{n-1}+n,n \geq 2.

    Din cea de-a doua relatie obtinem succesiv:

    \begin{cases} a_2=a_1+2 \\ a_3=a_2+3 \\ ... \\ a_{n-1}=a_{n-2}+(n-1) \\ a_n=a_{n-1}+n \end{cases} . Adunand aceste relatii si eliminand termenii care apar in ambii membri, obtinem: a_n=a_1+2+...+(n-1)+n=1+2+...+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}, n \geq 2. Observand ca a_1=1=\frac{1 \cdot 2}{2}, obtinem ca termenul general al sirului este dat de formula:

    a_n=\frac{n(n+1)}{2}, n \geq 1.

    • 0
  2. Integrator
    maestru (V)

    PhantomR wrote: Sa notam termenii sirului: (a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}. Observam relatia de recurenta: a_1=1 \\ a_{n}=a_n+(n-1),n \geq 2.

    Din cea de-a doua relatie obtinem succesiv:

    \begin{cases} a_2=a_1+2 \\ a_3=a_2+3 \\ ... \\ a_{n-1}=a_{n-2}+(n-1) \\ a_n=a_{n-1}+n \end{cases} . Adunand aceste relatii si eliminand termenii care apar in ambii membri, obtinem: a_n=a_1+2+...+(n-1)+n=1+2+...+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}, n \geq 2. Observand ca a_1=1=\frac{1 \cdot 2}{2}, obtinem ca termenul general al sirului este dat de formula:

    a_n=\frac{n(n+1)}{2}, n \geq 1.


    Cred ca ai gresit la cea de a doua relatie de recurenta din neatentie…..Tu ai facut o observatie privind relatia de recurenta desi eu nu am dat o relatie de recurenta intre doi termeni a_{n} si a_{n-1} ci doar primii 4 termeni ai sirului.
    Sirul din problema poate avea numai acel temen general de forma pe care ai dat-o tu?

    • 0
  4. PhantomR
    expert (VI)

    Intr-adevar, am gresit si imi cer scuze! Am editat celalalt post si sper sa fie corect acum.

    Da, nu ati dat o relatie de recurenta, dar aceasta se putea observa. Bineinteles ca exista o infinitate de alte siruri care satisfac acele conditii. Sa luam de exemplu sirul (b_n)_{n\geq} definit de urmatoarea relatie: a_1=1,a_2=3,a_3=6,a_4=10. Restul termenilor poate fi orice alt sir. Sa luam de exemplu urmatorul:

    1,3,6,10,1,1,1,1.........
    1,3,6,10,900,1000,1100,...

    Din cate inteleg eu, in astfel de cazuri este vorba despre observarea unei relatii precise. Imi cer scuze ca ma exprim rau, dar sper ca ati inteles macar o parte din ce am vrut sa spun!:)

    • 0
  5. bedrix
    expert (VI)

    Atunci cand nu exista un algoritm de generare a sirului ( Ex. formula termenului general, relatie de recurenta , sir constant , etc)
    nu putem vorbi de existenta unui sir .

    In cazul de fata : s-au enumerat termenii 1,3,6,10, urmati de … , fara alte restrictii , s-a observat relatia de recurenta , a rezultat formula termenului general , care se verifica prin inductie matematica ; rezultatul este un sir unic determinat prin formula termenului general.

    • 0
  6. Integrator
    maestru (V)

    bedrix wrote: Atunci cand nu exista un algoritm de generare a sirului ( Ex. formula termenului general, relatie de recurenta , sir constant , etc)
    nu putem vorbi de existenta unui sir .

    In cazul de fata : s-au enumerat termenii 1,3,6,10, urmati de … , fara alte restrictii , s-a observat relatia de recurenta , a rezultat formula termenului general , care se verifica prin inductie matematica ; rezultatul este un sir unic determinat prin formula termenului general.


    Corect!Orice sir de numere reale este o aplicatie f a multimii N in R adica a_{n}=f(n) .Asa cum am dat acele doar primele patru numere nu sunt suficiente pentru a determina un singur si unic sir caci exista o infinitate de functii care sa genereze primele patru numere 1,3,6,10 si evident si urmatoarele numere.
    Aceasta problema am dat-o asa pentru ca cineva intreba ca daca ti-as da doar relatia de recurenta si nu ti-as da raspunsul atunci cum ai afla termenul general al sirului.Cand am relatia de recurenta nu am nevoie de raspuns.
    Enuntul corect al problemei propusa de mine era asa „Ce numere urmeaza dupa numerele 1,3,6,10,….”Raspunsul corect este ca orice numere pot urma dupa aceste numere daca se adopta o anumita functie de generare a acelor numere.

    • 0
Raspunde

Raspunde