Home/ Intrebari/Q 73214
Urmator
In Process
marius9505
user (0)
Pe: 2011-09-17T10:52:49+03:00 In: In:

demonstratie

(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/2>=6

Similare

6 raspunsuri

  1. expert (VI)

    \frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\geq 6. Banuiesc ca acesta e enuntul si ca a,b,c>0..

    Avem \frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}).

    Pentru x>0 inegalitatea x+\frac{1}{x} \geq 2 \Leftrightarrow x^2+1\geq 2x \Leftrightarrow x^2-2x+1 \geq 0[tex]\Leftrightarrow (x-1)^2=0[/tex] este adevarata, cu egalitate pentru x=1.. Punand pe rand x=\frac{a}{b},x=\frac{b}{c},x=\frac{c}{a} si adunand inegalitatile obtinute obtinem inegalitatea din enunt. Egalitatea are loc pentru \{\begin{array}\frac{a}{b}=1 \\ \frac{b}{c}=1 \\ \frac{c}{a}=1 \end{array} \Leftrightarrow a=b=c.

    • 0
  2. maestru (V)

    Merge si asa cu inegalitatea mediilor adica media aritmetica >= media geometrica.

        \[ \begin{array}{l} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \\ \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2 \\ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2 \\ \end{array} \]

    Se aduna membrul cu membru si se obtine relatia data.

    • 0
  4. maestru (V)

    andu_flavius95 wrote: Merge si asa cu inegalitatea mediilor adica media aritmetica >= media geometrica.

        \[ \begin{array}{l} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \\ \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2 \\ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2 \\ \end{array} \]

    Se aduna membrul cu membru si se obtine relatia data.

    Cred ca ai vrut sa spui M_a\geq M_{h}, unde M_h este media armonica.

    • 0
  5. expert (VI)

    Merge si cu aritmetica-geometrica: \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2.

    • 0
  6. maestru (V)

    Asa este, PhantomR, imi cer scuze pentru neatentie!

    • 0
  8. expert (VI)

    Nu iti fa probleme!:) Tuturor ne scapa anumite lucruri.. (mie mi se intampla foarte des din pacate 😆).

    • 0
Raspunde

Raspunde