Fie o progresie geometrica cu S3=40, S6=60. Sa se afle S9.
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
a(1)= primul termen
q=ratia
Avem ca a(1)*(1+q+q^2)=30 si
a(1)*(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=a(1)*(1+q^3)*(1+q+q^2)=60.
Ca urmare 1+q^2=3/2 de unde aflii valorile lui q de unde afli prin inlocuire in prima relatie pe a(1)…etc
Bogdan Stanoiu, nu inteleg de unde: a(1)*(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=a(1)*(1+q^2)*(1+q+q^2).
Practic de unde ai scos: a(1)*(1+q^2)*(1+q+q^2)?
Iata si o alta metoda mult mai simpla:
Cum la progresia aritmetica S2=(S1+S3)/2 (media aritmetica), la progresia geometrica S2=sqrt(S1*S3), media geometrica.
Deci, in cazul nostru, sqrt(S3*S9)=S6, de unde se scoate foarte usor S9.
Am incercat sa calulez si eu folosid formulele pentru Sn (lucru pe care cred ca l-ai facut si tu), dar am obtinut ratia foarte urata si am preferat sa caut o alta metoda.
M-am grabit. Scuza-ma. Este vorma de a(1)*(1+q^3)*(1+q+q^2) (se obtine prin darea ca factor comun pe q^3 in q^3+q^4+q^5. Am modificat
De fapt avem ca 1+q^3=3/2 si deci q^3=1/2
Avem ca
S(9)=a(1)*(1++q+q^2+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+q^8)=
=a(1)*(1+q+q^2+(q^3)*(1+q+q^2)+(q^6)*(1+q+q^2))=
=a(1)*(1+q+q^2)*(1+q^3+q^6)=
=S(3)*(1+q^3+q^6)=40*(1+1/2+1/4)=…
Problema se poate generaliza in sensul ca daca n este un numar natural impar , k este un numar natural, a si b numere reale nenule si avem o progresie geometrica astfel incat
S(n)=a si S(2n)=b se poate exprima S(kn) in functie de k;n;a;b
Daca renuntam la conditia ca n sa fie impar trebuie pusa conditia ca a si b sa fie strict pozitive
Daca vei calcula cum ai facut tu, Bogdan Stanoiu, vei obtine q=1/radical de ordinul 3 din 2 => q^9=1/8. Trebuie sa-l mai calculezi si pe a1, care nu o sa fie tocmai frumos.
Care este problema. Si aceasta expresia aferenta se poate rationaliza.
Uita-te mai bine la postarile mele precedente. Am scapat de aceasta problema, deoarece S(9) se obtine prin inmultirea lui S(3) cu o suma de puteri ale lui q cu exponenti multiplii de 3
a(1)= primul termen
q=ratia
Avem ca a(1)*(1+q+q^2)=30 si
a(1)*(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=a(1)*(1+q^3)*(1+q+q^2)=60.
Ca urmare 1+q^2=3/2 de unde aflii valorile lui q de unde afli prin inlocuire in prima relatie pe a(1)…etc
Atentie!In enuntul problemei S3=40.Din raportul S6/S3=3/2 rezulta cat este q si deci si S9.
Integrator, imi cer scuze, dar nu am inteles ce ai vrut sa spui.
Cum poti afla pe S9, doar in functie de q?
In multimea numerelor reale putem spune ca:
S3=a1(1+q+q^2)=40 si S6=a1(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=60 si deci din S6/S3=3/2 rezulta q de unde rezulta a1 dar se pare ca S3 trebuie sa fie egal cu 30 (in caz contrar ar rezulta din S3 si S9 valori diferite pentru a1 ceea ce este absurd) si deci S6/S3=2 de unde rezulta q=1 si a1=10 iar S9=90.Daca S3=40 atunci S6 nu poate fi egal cu 60.
Problema are solutie si in multimea numerelor complexe?
Bravo J3anina. Este cea mai frumoasa si scurta rezolvarea ta de la problema asta. Felicitari.
Multumesc!😀
Eu inteleg ca S3 este suma primelor trei numere ale progresiei geometrice,S6 este suma primelor 6 numere ale aceleiasi progresii geometrice.Eu stiu ca termenii unei progresii se noteaza cu a1,a2,……,an.Daca Si sunt termeni atunci rezolvarea este alta.
Asta daca S3,S6 si S9 sunt termenii progresiei geometrice dar eu stiu ca notatia termenilor unei progresii este a1,a2,….,an.
Integrator, nu am inteles ce ai vrut sa spui!
Eu stiu ca termenii unei progresii se noteaza cu ai a_i unde i=1,2,……..,n si uneori i=0,iar sumele partiale ale unei progresii se noteaza respectiv cu S_i si de aceea Bogdan Stanoiu a gandit la fel ca si mine.Enuntul unei probleme nu ar trebui in general sa se faca pe baza unor notatii traditionale?Orcine spune ca S3=40 se gandeste in cazul unei progresii la suma primilor trei termeni ai progresii.
Abia acum mi-am dat seama la ce te-ai referit. Uneori trebuie sa mai dai si cu presupusul, cand stii despre ce este vorba (cel putin asta imi spune expetienta acumulata pe acest site).😀