Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Demonstrati ca
![\[ \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\;\;,(\forall )\;a,b,c \in R_ + ^* . \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fc2a792ee4bdac3f3c948049760ddb9_l3.png "formula matematica")
Eu am demonstrat printr-o alta metoda aceasta inegalitate:
De exemplu pentru 3 numere x,y,z din R avem
![\[ \frac{{x + y + z}}{3} \ge \frac{3}{{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}}\;(m_a \ge m_h ) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2aeb24cec8e83238418b46de09fac16_l3.png "formula matematica")
.
Considerand membrul stang din inegalitatea data ca fiind x+y+z, rezulta ca:
![\[ \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{{\frac{{b + c}}{a} + \frac{{a + c}}{b} + \frac{{a + b}}{c}}} \ge \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \\ Deoarece\;\frac{{b + c}}{a} + \frac{{a + c}}{b} + \frac{{a + b}}{c} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \ge 6 \\ \;iar\;\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \ge 2\sqrt {\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = 2\;si\;analoagele. \\ \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b9d3eecace143cc28c750f5a2431211b_l3.png "formula matematica")
Este buna aceasta demonstratie bazata pe ideea ca media aritmetica este mai mare sau egala decat media armonica ?
Vezi ca din faptul ca
S=(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c>_6 rezulta ca 9/S<_3/2.
Deci nu merge
Se de monstreaza ca pentru a+b+c=S>0 fixat, valoarea minima a expresiei din membrul stang al inegalitatii din enunt se obtine atunci cand
a=b=c.
Pentru aceasta demonstram mai intai ca pentru S si c fixate, valoarea minima a expresiei din membru stang al inegalitatii din enunt se obtine pentru a=b=(S-c)/2.
Deci valoarea minima trebuie cautata printre cazurile a=b=(S-c)/2 si aratam mai departe ca se obtine pentru c=S/3 (ceea ce revine la a=b=c).
Bineinteles ca dupa ce am aratat aceste lucruri valoarea minima este 3/2.
Pentru S si c fixat membrul stang este egal cu
a/(S-a)+(S-a-c)/(a+c)+c/(S-c).
Pentru c si S fixate ultimul termen este constant.
fie f:[0;S)->R; f(a)=a/(S-a)+(S-a-c)/(a+c)
Derivata lui f este
f'(a)=S/((S-a)^2)-S/((a+c)^2)
f'(a)=0 este echivalent cu a=(S-c)/2 si
f'(a)>0 pentru orice a>(S-c)/2 si f'(a)<0 pentru orice
a<(S-c)/2.
Deci a=(S-c)/2 este punct de minim si ca urmare, pentru S si c fixate
valoarea minima se obtine pentru a=b=(S-c)/2
In acest caz membrul stang este egal cu
2*(S-c)/(S+c)+c/(S-c)
Fie g:[0;S)->R
g(c)=2*(S-c)/(S+c)+c/(S-c)
g'(c)=4S/((S-c)^2)-S/((S-c)^2)
g'(c)=0 este echivalent cu c=S/3 etc….
c=S/3 punct de minim….
Aceasta demonstratie a dvs. este un pic mai dificila pentru mine :eu de-abia am trecut in clasa a 10 iar derivatele ma depasesc (clasa a 11).
Oricum va multumesc foarte mult pentru raspuns si pentru corectarea demonstratiei mele.Atat de aproape am fost de realizarea ei, dar a iesit tocmai invers.Cu metoda Cauchy Buniakowski Schwartz este mult mai greu de demonstrat.
Inegalitatea este cunoscuta ca fiind inegalitatea lui Nesbitt. Ca demonstratie se poate folosind substitutiile b+c=x si analoagele. Sau amplificam fiecare fractie cu numaratorul ei si folosim CBS:
Intr-adevar ,merge cu CBS!
Defapt Titu Andreescu care este un caz particular a CBS (e bine sa stiti acest lucru)….
Iar despre problema lui Andy mai demult am găsit vreo 6 sau chiar 7 demonstratii pentru acea inegalitate (fiind foarte cunoscuta).
a/(b+c)+1+b/(a+c)+1+c/(a+b)+1>=3/2+3
=>(a+b+c)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=9/2
=>[(a+b)+(b+c)+(c+a)]*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=9
(x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)>=9 =>1+1+1+d>=9 =>d>=6
Dar d>=6 ai demonstrat tu.