Am reusit sa arat ca daca m este un numar natural fixat atunci multimea valorilor naturale n pentru care n!-m este patrat perfect este finita sau vida.
Caz I: m=0
Intr-adevar, daca m=0 atunci problema se reduce la a determina numerele naturale n pentru care n! este patrat perfect. Pentru n>6, conform postulatului lui Bertrand (poate cu unele mici rafinari suplimentare) exista cel putin un numar prim intre [n/2]+1 si n.
Acest numar prim apare la puterea 1 in descompunerea lui n! si deci pentru n>6, n! nu poate fi patrat perfect. Se verifica prin calcul ca singurele valori ale lui n pentru care n! este patrat perfect sunt 0 si 1
Caz II: m=k^2 cu k neneul (m este patrat perfect nenul)
Fie p cel mai mic numar prim astfel incat p congruent cu 3 modulo 4 si p>m.
Rezulta ca pentru orice n>p avem ca
n!-m este congruent cu p-k^2 modulo p Deoarece p este congruent cu 3 modulo 4 rezulta ca p-k^2 nu este rest patratic modulo p si deci pentru orice n>p avem ca n!-k^2 nu este patrat perfect. Deci in acest caz multimea valorilor n pentru care n!-m este patrat perfect este finita sau vida.
Caz III : m nu este patrat perfect.
Rezulta ca in acest caz exista un factor prim p care apare la putere impara in descompunerea lui m , adica exista k astfel incat m este divizibil cu p^(2k+1) dar nu este divizibil cu p^(2k+2)
Fie n(0) ceea mai mica valoare a lui n pentru care n! este divizibil cu p^(2k+2) oricare n>n(0)
Rezulta ca pentru orice n>n(0) avem ca n!-m se divide cu p^(2k+1) dar nu se divide cu p^(2k+2) si deci nu poate fi patrat perfect. Deci si in acest caz multimea valorilor naturale ale lui n pentru care n!+m este patrat perfect este finita sau vida.
Am incercat sa fac aceeasi smecherie cu n!+m. Cazul I este identic iar cazul III este (quasi)identic. Problemele apar insa la cazul II atunci cand m este patrat perfect.
Pentru k fixat nu am reusit sa arat daca exista sau nu o infinitate de valori ale lui n pentru care n!+k^2 sa fie patrat perfect. Are cineva vreo idee ?
.
Din conditiile impuse de problema data fie; n!-m=a^2 si n!+m=b^2 , sau ; n!=(a^2+b^2)/2 si m=(b^2-a^2)/2. Fie ; n!=(k’^2).(k”), unde ; k’^2 este produsul factorilor primi, din n!, ce sunt la putere para si k” este produsul celorlalti factori ramasi , din n!. Vom descompune , prin incercari, pe (2.k”) in suma a doua patrate perfecte; (2.k”)=u^2+v^2, unde ; u<v. (Pentru unele valori ale lui n putem gasi astfel de posibilitati , iar pentru alte valori ale lui n nu se pot gasi astfel de posibilitati.). In cazul in care descompunerea este posibila va rezulta ;a=(k’.u) si b=(k’.v).
Ex,Fie n=6 , n!=(12)^2.(5) , unde; k’=12 si k”=5. Factorul (2.k”)=10=1+9=1^2+3^2, deci;a=12.1=12 si b=12.3=36 si va rezulta m=576.Perechea, (n,m)=(6 ; 576) ,este o solutie a problemei date. Daca n=7, pentru care;k’=12 si k”=35 , factorul (2k”)=70 , nu se poate descompune in suma a doua patrate perfecte. Deci pentru n=7 problema nu are solutii. Asa vad eu rezolvarea. Cu respect .DD
Poate ca m-am exprimat eu in mod gresit in titlu. Nu am vrut situatia in care n!+m si n!-m sunt simultan patrate perfecte ci asa cum am aratat ca daca m este natural fixat atunci multimea valorilor naturale n pentru care n!-m este patrat perfect este finita sau vida , am incercat sa studiez verdicitatea/neveridicitatea unui enunt asemanator pentru n!+m.
Cu stima si numai bine