Se dau m si n doua numere intregi strict pozitive.
Sa se gaseasca toate valorile lui m si n care satisfac ecuatia:
m/n=n.m (m supra n egal n virgula m)
De ex.: 5/2=2.5
sau 294/17=17.29411… (294 si 17 se apropie de solutie dar totusi din cauza zecimalelor diferite de 0 situate dupa cifra 4 cei doi intregi nu satisfac (perfect) ecuatia).
Care este regula prin care se gasesc toate dubletele care satisfac problema de mai sus?
Daca cumva {5, 2} este singura solutie, cum se demonstreaza unicitatea ei?
Relatia m/n=n+0,m este echivalenta cu
m/n=n+m/(10^k) unde k reprezinta numarul de cifre ale lui m
Conform teoremei impartirii cu rest avem ca
m=n*t+r ; r<n cu aceasta egalitatea devine
(n*t+r)/n=n+m/(10^k) ceea ce este echivalent cu
t+r/n=n+m/(10^k). Atat t cat si n sunt intregi si atat r/n cat si
m/(10^k) apartin intervalului [0;1). Deci cele doua scrieri reprezinta scrieri de tip parte intreaga +parte fractionara a aceluiasi numar. Ca urmare t=n si r/n=m/(10^k)
Fie a/b screrea ca fractie ireductibila a lui r/n
Rezulta ca a/b=m/^(10^k) de unde rezulta ca
a*10^k=b*m si deoarece a si b sunt prime intre ele rezulta ca
b divide 10^k si a divide m
Deci b=2^u*5^v cu u si v numere naturale de la 0 pana la k
se obtine ca a*2^k*5^k=2^u*5^v*m si deci
a*2^(k-u)*5^(k-v)=m
Incaerca acum sa parcurgi invers luand d cel mai mare divizor comun dintre r si n care coincide cu cel mai mare divizor comun dintre m si n etc. E mai greu
daca punem conditia suplimentara ca m/n sa fie fractie ireductibila atunci avem ca
m/n=n+0,m este echivalent cu
m/n=n+m/(10^k) unde k reprezinta numarul de cifre ale lui m .
Conform teoremei impartirii cu rest rezulta ca
m=n*t+r; r<nsi deci
t+r/n=n+m/10^k si cum n si t sunt intregi iar r/n si m/(10^k) sunt in intervalul [0;1) rezulta ca cele doua scrieri sunt scrieri de forma parte intreaga +parte fractionara ale aceluiasi numar, deci n=t si r/n=m/(10^k)
de unde rezulta ca 10^k*r=m*n
Deoarece m si n sunt prime intre elel rezulta ca atat r si n cat si r si m sunt prime intre ele si deci r=1 (nu poate sa divida m*n) si ca urmare
m*n=10^k si in plus m=n*t+r=n^2+r=n^2+1
Deci in acest caz avem ca n*(n^2+1)=10^k. Dintre numerele n si n^2+1 unul este par si unul este impar
Daca n este par rezulta ca n=2^k si n^2+1=5^k de unde rezulta ca
2^(2k)+1=5^k deci 4^k+1=5^k cu solutia unica data de k=1.
Deci in acest caz n=2 si m=n^2+1=5
daca n este impar rezulta ca n^2+1 da restul 2 la impartirea cu 4 si deci n*(n^2+1) da restul 2 la impartirea cu 4 si deci nu poate fi egal cu 10^k decat pentru k=1.
In acest caz ecuatia n*(n^2+1)=10 nu are solutii naturale impare.
Deci, daca punem conditia suplimentara ca m/n sa fie fractie ireductibila rezulta ca singura solutie este m=5; n=2.
Fara aceasta conditie suplimentara e mai greu.
Plecand de la conditiile impuse de problema , unde m si n sunt numere naturale , putem sa scriem relatia ; m/n=n+m/(10^k) unde k este egal cu numarul de cifre pe care le are m , (relatie de la care pleaca si domnul Bogdan Stanoiu). Din aceasta relati avem; m(n,k)=-(10^k).[n+(10^k)]+(10^3.k)/[(10^k)-n].Studiind aceasta relatie in functie de n ,rezulta ca n nu poate lua valori decat intre (0 ; 10^k), pe acest interval functia este strict crescatoare si m ia valori intre (0 , +infinit).Studiind aceeasi functie in raport cu 10^k, pentru 10^k>n functia este strict desrecatoare si ia valori intre (+infinit , n^2).Cum 10^3.k=(2^3.k).(5^3.k) , cea mai mare valoare ce poate sa divida pe 10^3.k este 8.10^(k-1)=(10^k)-n. (Pentru k=1, va rezulta n=2 si m=5. Se vede ca m>n^2). Pentru k=2 si mai mare, valoare minima a lui n va fi 2.10^(k-1) si vom avea; m>n^2=4.10^2.(k-1). Pentru k=2, va rezulta m>400 si solutia nu este buna pentru ca numarul de cifre ale lui m este 3>k=2. acelasi rezultat avem si cand k>2. Deci , singura si unica solutie este (m,n)=(5,2)
Introducind in http://www.wolframalpha.com stringul
solve m/n=n+m/(10^k) for m
rezulta
Constat ca simpla introducere a unei expresii, de ex. m/n=n+m/10^k intre [t e x] [/t e x] (fara spatii intre literele t,e,x) duce la scrierea ei intr-o forma mult mai prietenoasa:
care poate ar fi bine sa fie folosita in viitor pentru claritatea explicatiilor.
Pentru ce clasa este problema?
Ecuatia se mai scrie m:n=n+m:10 de unde rezulta m(10-n)=10n^2 si din care rezulta valorile lui m.Se observa ca este necesar ca 10-n>0 adica 0<n<10.Se verifica imediat ca numai pentru n=2 si m=5 se verifica acea ecuatie.
In cazul general cand n ar fi un numar cu k+1 cifre obtinem din acea ecuatie 10^k=m*n/(m-n^2)>=10 si m-(n^2)>=1 si atunci ar rezulta ca m*n=a*10^p si m-n^2=b*10^q;inlocuind obtinem 10^k=(a/b)*10^(p-q)>=10 sau altfel a/b=10^(k-p+q) si cum a>=b atunci rezulta k-p+q>=0.
Se observa ca putem scrie o ecuatie care are radacinile m si -n^2 in functie de b si ca discriminantul ecuatiei trebuie sa fie un patrat perfect adica 25*(b^2)*[10^2(q-1)]+b*10^(k+q)=A^2 si aceasta solutie generala ar trebui sa genereze si solutia particulara m=5 si n=2 dar se observa ca atunci ar trebui ca A=0 si b*10^(q-1)=1 ceea ce este absurd caci ar rezulta ca m=-n^2.In concluzie singura solutie este m=5 si n=2.
Pentru ce clasa este problema?
Ecuatia se mai scrie m:n=n+m:10 de unde rezulta m(10-n)=10n^2 si din care rezulta valorile lui m.Se observa ca este necesar ca 10-n>0 adica 0<n<10.Se verifica imediat ca numai pentru n=2 si m=5 se verifica acea ecuatie.
In cazul general cand n ar fi un numar cu k+1 cifre obtinem din acea ecuatie 10^k=m*n/(m-n^2)>=10 si m-(n^2)>=1 si atunci ar rezulta ca m*n=a*10^p si m-n^2=b*10^q;inlocuind obtinem 10^k=(a/b)*10^(p-q)>=10 sau altfel a/b=10^(k-p+q) si cum a>=b atunci rezulta k-p+q>=0.
Se observa ca putem scrie o ecuatie care are radacinile m si -n^2 in functie de b si ca discriminantul ecuatiei trebuie sa fie un patrat perfect adica 25*(b^2)*[10^2(q-1)]+b*10^(k+q)=A^2 si aceasta solutie generala ar trebui sa genereze si solutia particulara m=5 si n=2 dar se observa ca atunci ar trebui ca A=0 si b*10^(q-1)=1 ceea ce este absurd caci ar rezulta ca m=-n^2.In concluzie singura solutie este m=5 si n=2.
Interesant